ГОСТ Р 50779.27-2017 (МЭК 61649:2008) Статистические методы. Распределение Вейбулла. Анализ данных (Переиздание)

Приложение J
(справочное)

Теоретическое обоснование и ссылки на литературные источники

В данном приложении представлена информация об источниках методов, представленных в разделе 9. В пункте J.5 представлены ссылки на литературные источники.

J.1 Критерии согласия

В качестве критерия использован критерий Манна - Шэуера - Фертига (1973 г.) в форме, представленной Лавлессом (1982 г.). Средние значения стандартных экстремальных значений порядковых статистик, необходимые для вычисления в пункте 9.5 аппроксимированы в соответствии с методом, предложенным Бломом (1958 г.). Данный критерий показывает мощность, сравнимую с мощностью критерия Шапиро и Брайна (1987 г.) и критерия Тьюки, как описано Лавлессом (1982 г.). Последний был немного лучше любого доступного критерия с эмпирической функцией распределения. Также критерий Манна - Шэуера - Фергита может работать с цензурированными выборками.

J.2 Оценки максимального правдоподобия для и

Для получения оценок обычно используют уравнения для однократно цензурированных выборок. В настоящее время существует много известных численных методов определения оценок распределения Вейбулла. В настоящем стандарте эти методы даны в форме, представленной Манном, Шафером и Сингпурваллой (1974 г.). Так как статистические методы, представленные в настоящем стандарте, применимы только к выборкам, объем которых превышает 10 единиц, смещение оценок является очень небольшим.

J.3 Доверительные интервалы и нижние доверительные границы

Рассматриваемые подходы соответствуют подходам Бейна и Энгельхардта (1981 г.) для полных выборок и Бейна и Энгельхардта (1986 г.) для цензурированных выборок. В них необходимые коэффициенты генерированы методом Монте-Карло и использована асимптотическая аппроксимация для корректировки результата. Использование приближений некоторыми простыми линейными и нелинейными функциями дает возможность отказаться от использования дополнительных таблиц. При этом во всех случаях отличия аппроксимации очень небольшие (приблизительно 1%).

Альтернативу представляют условные методы Лавлесса (1970 г.), но данный подход, хотя теоретически более привлекателен, может привести к существенно более сложным процедурам, требующих применения в большом объеме численного интегрирования.

Чисто асимптотический подход отвергнут, так как метод должен быть устойчив по отношению к малым выборкам.

J.4 Точность стандартизированных методов

Методы, приведенные в настоящем стандарте, были сопоставлены с опубликованными результатами, полученными аналогичными и другими методами. Оценки максимального правдоподобия во всех примерах совпали с аналогичными оценками, полученными при применении методов настоящего стандарта. Отличие имелось только в доверительных интервалах и нижних доверительных границах. Ниже приведены результаты сопоставления.

J.4.1 Бейн и Энгельхардт (1986 г.)

Данный метод является прототипом стандартизованного метода, поэтому были сопоставлены результаты этих методов. При сравнении рассмотрена точность аппроксимации функций, используемых в настоящем стандарте. При сравнении получены следующие результаты:

J.4.2 Лавлесс (1978 г.)

В рассматриваемой выборке объема 40 произошло 28 отказов. Метод Лавлесса позволяет определить только доверительный интервал для с уровнем доверия 90% и нижнюю доверительную границу для и с уровнем доверия 95%. Получены следующие результаты:

J.4.3 Микер и Нельсон (1976 г.)