ГОСТ Р 50779.27-2017 (МЭК 61649:2008) Статистические методы. Распределение Вейбулла. Анализ данных (Переиздание)

     11 Сравнение методов определения оценок: регрессии медиан рангов и максимального правдоподобия

11.1 Графическое отображение данных

Метод регрессии медиан рангов обеспечивает графическое представление данных. Это помогает идентифицировать случаи недостаточного соответствия данных графикам распределения Вейбулла, что помогает сделать предположения о принадлежности данных к другому распределению, наличии отказов объектов, соответствующих нескольким режимам, наличии смеси режимов отказов, проблемах, связанных с производством партии или выбросами.

11.2 Оценки В-ресурса (В или L квантили)

Для малых объемов выборок регрессия рангов позволяет определить более точные оценки квантилей низкого уровня, таких как квантиль В-ресурса. Данные нижние квантили В-ресурса и соответствующие высокие уровни безотказности могут иметь крайне важное значение в решении проблем безопасности, принятии гарантийных обязательств, поручительстве и установлении договорных обязательств. Для небольших объемов выборки оценка максимального правдоподобия квантиля В-ресурсов бывает слишком оптимистична.

11.3 Малые выборки

Обычно регрессия рангов дает более точный прогноз для малых объемов выборок, но она более зависима от формы и возраста распределения приостановлений. Однако при компьютерной обработке данных для малых объемов выборок рекомендуется применять как метод регрессии медиан рангов, так и метод максимального правдоподобия. В большинстве случаев результаты этих двух методов достаточно хорошо согласованы, если данные достаточно хорошо согласуются с распределением Вейбулла.

Общие рекомендации по выбору наиболее подходящего метода с учетом малого объема выборки следующие:

- для 20 и менее данных независимо от наличия цензурирования по времени, для данных, отображаемых двумерной координатной системой (X, Y), более предпочтительным является метод регрессии медиан рангов;

- для наборов, содержащих менее 10 данных, при наличии предварительных сведений о параметре предпочтительным является анализ Вейбулла - Байеса;

- для других наборов данных результаты применения этих методов следует сравнивать. Близость значений оценок, полученных с помощью обоих методов при хорошей регрессии и значении отношения правдоподобия говорит о том, что данные хорошо согласуются с распределением Вейбулла (сравнение с другими моделями также должно быть рассмотрено). Однако большое расхождение между оценками, полученными методом регрессии медиан рангов и методом максимального правдоподобия, говорит о том, что распределение данных выбрано не верно, и, возможно, данные принадлежат нескольким совокупностям. Все такие расхождения должны быть исследованы.

11.4 Параметр формы

Для малых объемов выборок метод максимального правдоподобия имеет тенденцию к завышению оценки . Наклон линии графика на вероятностной бумаге распределения Вейбулла иногда очень крутой. Наклон линии на логнормальном и нормальном графиках также слишком крутой, так как здесь стандартное отклонение метода максимального правдоподобия занижено.

11.5 Доверительные интервалы

Метод максимального правдоподобия дает достаточно точные интервальные оценки отношения правдоподобия; данные оценки подходят для малого объема выборок. Для метода распределения медиан рангов рекомендуется использовать оценки центральных интервалов.

11.6 Единственный отказ

Метод максимального правдоподобия позволяет получить решение при наличии одного отказа и нескольких правых или более поздних приостановок. Решение имеет большую неопределенность, но существуют ситуации, когда при неизвестном только он дает решение. При известном предпочтение следует отдавать анализу Вейбулла - Байеса.

11.7 Математическое обоснование

В основе регрессии медиан рангов лежит регрессия методом наименьших квадратов. Остаточное рассеивание около линии на графике неравномерно. Как правило, на практике нижний конец линии более важен, чем верхний. Однако, несмотря на то, что интересы инженеров связаны с нижним концом линии и результаты для инженеров являются приемлемыми, они не удовлетворяют статистиков. С точки зрения математической обоснованности более приемлемым является метод максимального правдоподобия.

11.8 Представление результатов

Часто для улучшения восприятия данные рекомендуется представлять в простой и лаконичной форме. Графики регрессии рангов предпочтительнее для этой цели. Данные графиков метода максимального правдоподобия, представленные вместе с медианами рангов, не рекомендуется использовать для представления результатов, так как они могут провоцировать заключения о плохой согласованности подгонки данных с линией на графике распределения вероятностей Вейбулла.