Р 50.1.086-2013

Группа Т59

     

РЕКОМЕНДАЦИИ ПО СТАНДАРТИЗАЦИИ

Статистические методы

ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ

Часть 6

Анализ выборочных оценок среднего и стандартного отклонения

Statistical methods. Examples of application. Part 6. Consideration of sample mean and sample standard deviation

ОКС 03.120.30

Дата введения 2014-12-01

     

Предисловие

1 РАЗРАБОТАНЫ Автономной некоммерческой организацией "Научно-исследовательский центр контроля и диагностики технических систем" (АНО "НИЦ КД")

2 ВНЕСЕНЫ Техническим комитетом по стандартизации ТК 125 "Применение статистических методов"

3 УТВЕРЖДЕНЫ И ВВЕДЕНЫ В ДЕЙСТВИЕ Приказом Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии от 22 ноября 2013 г. N 1663-ст

4 ВВЕДЕНЫ ВПЕРВЫЕ

Информация об изменениях к настоящим рекомендациям публикуется в ежегодном указателе "Национальные стандарты", а текст изменений и поправок - в ежемесячно издаваемых информационных указателях "Национальные стандарты". В случае пересмотра (замены) или отмены настоящих рекомендаций соответствующее уведомление будет опубликовано в ежемесячно издаваемом информационном указателе "Национальные стандарты". Соответствующая информация, уведомление и тексты размещаются также в информационной системе общего пользования - на официальном сайте Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии в сети Интернет

Введение

Серия рекомендаций по стандартизации "Статистические методы. Примеры применения" включает разъяснения применения статистических методов в простой и доступной форме.

В рекомендациях представлены способы применения простых статистических методов и приемов, показано, как знание процесса производства может способствовать его улучшению, повышению эффективности, производительности и повышению качества изготавливаемой продукции.

Термин "статистический" обычно применяют по отношению к методам, связанным с обработкой числовых данных, относящихся к контролю качества продукции, управлению технологическими процессами, увеличению выпуска продукции и продаж, снижению затрат, и как следствие, стоимости продукции, а также к заработной плате. До применения конкретного статистического метода необходимо четко понимать его назначение.

В настоящих рекомендациях рассмотрены методы статистического анализа оценок среднего и стандартного отклонения, полученных по выборочным данным. В рекомендациях приведены примеры и даны рекомендации по применению этих методов.

     1 Область применения

В серии рекомендаций "Статистические методы. Примеры применения" приведены пояснения к использованию статистических методов, применяемых в менеджменте, контроле и улучшении процессов с учетом требований ГОСТ Р ИСО/ТО 10017.

В настоящих рекомендациях рассмотрены методы статистического анализа выборочных данных, а также полученных на их основе оценок среднего и стандартного отклонения совокупности.

Применение представленных в настоящих рекомендациях методов позволяет повысить достоверность оценок и таким образом способствует принятию более объективных решений исследуемых параметров.

     2 Нормативные ссылки

В настоящих рекомендациях использованы нормативные ссылки на следующие документы:

ГОСТ Р 50779.10-2000 Статистические методы. Вероятность и основы статистики. Термины и определения

ГОСТ Р 50779.11-2000 Статистические методы. Статистическое управление качеством. Термины и определения

ГОСТ Р ИСО 9000-2008 Системы менеджмента качества. Основные положения и словарь

ГОСТ Р ИСО/ТО 10017-2005 Статистические методы. Руководство по применению в соответствии с ГОСТ Р ИСО 9001

ГОСТ Р ИСО 11453-2005* Статистические методы. Статистическое представление данных. Проверка гипотез и доверительные интервалы для пропорций  

________________

* Вероятно, ошибка оригинала. Следует читать: ГОСТ ИСО 11453-2005, здесь и далее по тексту. - Примечание изготовителя базы данных.    

ГОСТ Р ИСО 16269-6-2005 Статистические методы. Статистическое представление данных. Определение статистических толерантных интервалов

ГОСТ Р ИСО 16269-7-2004 Статистические методы. Статистическое представление данных. Медиана. Определение точечной оценки и доверительных интервалов

ГОСТ Р ИСО 16269-8-2005 Статистические методы. Статистическое представление данных. Определение предикционных интервалов

Р 50.1.040-2002 Статистические методы. Планирование экспериментов. Термины и определения

Р 50.1.073-2010 Статистические методы. Примеры применения. Часть 2. Анализ данных на соответствие установленным требованиям

Р 50.1.074-2010 Статистические методы. Примеры применения. Часть 3. Анализ данных контроля

Р 50.1.082-2012 Статистические методы. Примеры применения. Часть 4. Прямые статистические приемы анализа данных

Примечание - При пользовании настоящими рекомендациями целесообразно проверить действие ссылочных стандартов в информационной системе общего пользования - на официальном сайте Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии в сети Интернет или по ежегодному информационному указателю "Национальные стандарты", который опубликован по состоянию на 1 января текущего года, и по выпускам ежемесячного информационного указателя "Национальные стандарты" за текущий год. Если заменен ссылочный стандарт, на который дана недатированная ссылка, то рекомендуется использовать действующую версию этого стандарта с учетом всех внесенных в данную версию изменений. Если заменен ссылочный стандарт, на который дана датированная ссылка, то рекомендуется использовать версию этого стандарта с указанным выше годом утверждения (принятия). Если после утверждения настоящего стандарта в ссылочный стандарт, на который дана датированная ссылка, внесено изменение, затрагивающее положение, на которое дана ссылка, то это положение рекомендуется применять без учета данного изменения. Если ссылочный стандарт отменен без замены, то положение, в котором дана ссылка на него, рекомендуется применять в части, не затрагивающей эту ссылку.

     3 Термины и определения

В настоящих рекомендациях применены термины по ГОСТ Р 50779.10, ГОСТ Р 50779.11, Р 50.1.040 и ГОСТ Р ИСО 9000.

     4 Общие положения

Для обеспечения однозначности трактовки формул и выводов, приведенных в рекомендациях, следует учитывать различия в обозначениях, используемых для характеристик совокупности (партии) и выборки, отобранной из этой совокупности. Обычно для совокупности содержащей элементов, среднее обозначают , а стандартное отклонение . Для выборки, содержащей элементов, выборочное среднее обозначают , а выборочное стандартное отклонение . Значения характеристик для различных выборок идентифицируют при помощи нижних индексов, например:

, - выборочные среднее и стандартное отклонение первой выборки объема ;

, - выборочные среднее и стандартное отклонение второй выборки объема ;

, - выборочные среднее и стандартное отклонение третьей выборки объема ;

, - выборочные среднее и стандартное отклонение четвертой выборки объема .

Если из совокупности отобрано много случайных выборок объема , то стандартное отклонение выборочных средних является мерой ошибки при использовании выборочного среднего одной выборки из элементов в качестве оценки среднего совокупности . Это стандартное отклонение выборок , и т.д. называют стандартной ошибкой среднего. Аналогично стандартное отклонение выборочных стандартных отклонений , , ..., и т.д. называют стандартной ошибкой стандартного отклонения при использовании в качестве оценки .

Математическая статистика позволяет определить оценки указанных стандартных ошибок по результатам одной выборки. Далее предполагается, что объем выборки существенно меньше объема совокупности , например .

     5 Изменчивость выборочных средних

Математическое ожидание (среднее) среднего арифметического (выборочного среднего), рассчитанного по выборке объема , отобранной из совокупности, равно истинному среднему совокупности, т.е.

.                                                   (1)

Стандартное отклонение выборочного среднего равно истинному стандартному отклонению совокупности, деленному на корень из , т.е.

.                                                  (2)

В большинстве случаев при 5 распределение выборочных средних может быть аппроксимировано нормальным распределением.

Если предположить, что выборка содержит приблизительно 20 или более элементов, можно сделать следующее заключение. Так как изменяется в соответствии с нормальным распределением со средним и стандартным отклонением , то маловероятно, что в любой случайной выборке разность () будет больше и почти невероятно, что она будет больше . Следовательно, скорее всего выборочное среднее не будет отличаться от истинного среднего соответствующей совокупности больше чем на . В тех случаях, когда стандартное отклонение неизвестно, часто используют его оценку, полученную по выборке.

     6 Изменчивость стандартных отклонений

Квадрат стандартного отклонения является дисперсией, т.е. - выборочная дисперсия, - дисперсия совокупности. Математическое ожидание выборочных дисперсий для выборки объема равно дисперсии совокупности, т.е.

.                                                  (3)

Однако математическое ожидание выборочного стандартного отклонения для объема выборки меньше , т.е. является смещенной оценкой . В данном случае смещение отрицательно. Смещение зависит от объема выборки и уменьшается с увеличением объема выборки.

Таблица 1 - Коэффициенты, используемые при вычислении границ доверительных интервалов для среднего и стандартного отклонения совокупности