ГОСТ Р ИСО 16269-7-2004

Группа Т59

НАЦИОНАЛЬНЫЙ СТАНДАРТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Статистические методы

     
СТАТИСТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДАННЫХ.
МЕДИАНА

     
Определение точечной оценки и доверительных интервалов

     
Statistical methods. Statistical interpretation of data. Median.
Estimation and confidence intervals

ОКС 03.120.30

Дата введения 2004-06-01

Предисловие

1 ПОДГОТОВЛЕН Техническим комитетом по стандартизации ТК 125 "Статистические методы в управлении качеством продукции" на основе собственного аутентичного перевода стандарта, указанного в пункте 4

2 ВНЕСЕН Научно-техническим управлением Госстандарта России

3 УТВЕРЖДЕН И ВВЕДЕН В ДЕЙСТВИЕ Постановлением Госстандарта России от 27 января 2004 г. N 34-ст

4 Настоящий стандарт идентичен международному стандарту ИСО 16269-7-2001. "Статистическое представление данных. Часть 7. Медиана. Определение точечной оценки и доверительных интервалов" (ISO 16269-7:2001 "Statistical interpretation of data - Part 7: Median - Estimation and confidence intervals")

Наименование настоящего стандарта изменено относительно наименования указанного международного стандарта для приведения в соответствие с ГОСТ Р 1.5 (подраздел 3.6).

При применении настоящего стандарта рекомендуется использовать вместо ссылочных международных стандартов соответствующие им национальные стандарты, сведения о которых приведены в дополнительном приложении С

5 ВВЕДЕН ВПЕРВЫЕ

Информация об изменениях к настоящему стандарту публикуется в указателе "Национальные стандарты", а текст этих изменений - в информационных указателях "Национальные стандарты". В случае пересмотра или отмены настоящего стандарта соответствующая информация будет опубликована в информационном указателе "Национальные стандарты"

     1 Область применения

Настоящий стандарт устанавливает процедуры определения точечной и интервальной оценок медианы для любой совокупности случайных величин, описываемой непрерывной функцией распределения. Приведенные в стандарте методы не требуют знания функции распределения. Аналогичные процедуры могут применяться для определения оценок квартилей и других процентных точек распределения.

Примечание - Медиана - 50%-ная точка распределения.

     2 Нормативные ссылки

В настоящем стандарте использована ссылка на следующий стандарт:

ИСО 3534-1:1993 Статистика. Словарь и условные обозначения. Часть 1. Вероятность и основные статистические термины.

     3 Термины, определения и обозначения

3.1 Термины и определения

В настоящем стандарте применены термины по ИСО 3534-1, а также следующие термины с соответствующими определениями:

3.1.1 -я порядковая статистика выборки (-th order statistic of a sample):

Значение -гo элемента выборки, когда все элементы выборки расположены в таком порядке, при котором каждый последующий элемент выборки более или равен (не менее) предыдущему (порядок неубывания).

Примечание - Для выборки из элементов, расположенных в порядке неубывания (), -й порядковой статистикой является элемент .

3.1.2 медиана непрерывного распределения (median of a continuous probability distribution): Такая величина, когда каждая из долей распределения, лежащих по обе стороны от нее, равна 0,5.

Примечание - В настоящем стандарте для медианы непрерывного распределения применен термин "медиана совокупности" и обозначен буквой М.

3.2 Обозначения

В настоящем стандарте применены следующие обозначения:

- нижняя граница значений случайной величины в совокупности;

- верхняя граница значений случайной величины в совокупности;

- уровень доверия;

- постоянная, используемая для определения величины в уравнении (1);

- номер порядковой статистики, используемый для определения нижней доверительной границы;

- медиана совокупности;

- объем выборки;

- нижняя доверительная граница, рассчитанная по выборке;

- верхняя доверительная граница, рассчитанная по выборке;

- квантиль стандартного нормального распределения;

- -й элемент выборки, когда элементы выборки расположены в порядке неубывания (каждый последующий элемент ряда более или равен предыдущему);

- выборочное значение медианы (оценка медианы, рассчитанная по выборочным данным);

- значение промежуточных вычислений при определении величины [см. уравнение (1)].

     4 Условия применения

Метод, описанный в настоящем стандарте, применим при выполнении следующих условий:

- генеральная совокупность описывается непрерывной функцией распределения;

- выборка составляется случайным образом.

Примечание - Для случаев, когда распределение совокупности может быть описано нормальным распределением, медиана совокупности совпадает с математическим ожиданием. В этом случае могут применяться методы определения доверительных границ для математического ожидания совокупности.

     5 Определение точечной оценки

Точечной оценкой медианы совокупности является выборочная медиана . Для определения выборочной медианы все элементы выборки необходимо расположить в порядке их неубывания. Выборочная медиана равна:

где - порядковая статистика с номером ;

- порядковая статистика с номером ;

- порядковая статистика с номером .

Примечание - Данная оценка в общем случае для несимметричных распределений является смещенной. При этом не существует метода определения несмещенной оценки для любых непрерывных распределений.

     6 Определение доверительного интервала

6.1 Общие положения

Двусторонний доверительный интервал для медианы - это закрытый интервал [], где , а и - соответственно нижняя и верхняя доверительные границы.

Если и - соответственно нижняя и верхняя границы значений случайной величины в генеральной совокупности, то односторонние доверительные интервалы, соответственно, имеют вид и .

Примечание - На практике часто значение принимают равным нулю для положительных переменных, а для переменных, не имеющих естественной верхней границы, в качестве принимают бесконечность.

Практическое значение применения доверительного интервала состоит в том, что исследователь может определить интервал, накрывающий неизвестное значение медианы совокупности . Причем вероятность противоположного события (интервал не накрывает ) не превышает назначенного малого значения. Вероятность того, что доверительный интервал накрывает медиану совокупности, называется доверительной вероятн

остью.

6.2 Классический метод

Классический метод определения границ доверительного интервала для медианы совокупности приведен в приложении А. Метод включает решение двух неравенств. Альтернативные методы определения границ доверительного интервала для некоторых значений уровня доверия приведены ниже.

6.3 Метод определения границ доверительного интервала для малых выборок (5100).

Значения , удовлетворяющие неравенствам, приведенным в приложении А для восьми наиболее часто используемых значений уровней доверия и объемов выборки от 5 до 100 элементов, приведены в таблицах 1 и 2. В таблице 1 приведены значения , используемые для определения границ одностороннего доверительного интервала, в таблице 2 - для определения границ двустороннего доверительного интервала.

Таблица 1 - Значения для определения границ одностороннего доверительного интервала при объеме выборки от 5 до 100 элементов