ГОСТ Р ИСО 11843-7-2014 Статистические методы. Способность обнаружения. Часть 7. Методы оценки с учетом фонового шума (Переиздание)

     6 Практическое применение теории FUMI

6.1 Оценка параметров шума

Все параметры, необходимые для применения теории FUMI, т.е. формул (13)-(16), могут быть однозначно определены на основе экспериментальных данных. Параметры сигнала (b, , , ) могут быть установлены в соответствии с формой целевого пика, как показано на рисунке 3. С другой стороны параметры шума (, , ) автоматически определяют по спектральной плотности мощности шума, как описано ниже.

Спектральную плотность мощности шума получают с помощью преобразования Фурье результатов измерений . Преобразование Фурье и инверсия преобразования Фурье имеют вид:

,                                                        (17)

,                                                        (18)

где N - количество наблюдений, включенных в область преобразования Фурье;

;

j - мнимая единица.

Спектральная плотность мощности P(k) случайного процесса имеет вид:

,                                                          (19)

где - сопряженное число к .

Если принять модель шума, описанную формулой (9), спектральная плотность мощности в формуле (19) может быть описана (см. [6], [7], [8]) следующей формулой:

.                               (20)

Параметры , , , необходимые для теории FUMI, могут быть определены с помощью нелинейного метода наименьших квадратов при аппроксимации формулой (20) спектральной плотности мощности фактического фонового шума.

Первый член преобразования Фурье в формулах (19) и (20) является постоянной составляющей, а соответствующей спектральной плотностью Р(0) можно пренебречь. Частота k в формуле (20) является целым числом, но может быть ограничена диапазонами от 1 до N/2, где N/2 - частота Найквиста. Типичный пример формулы (20) показан на рисунке 5.

На практике частоту k часто выражают в герцах. Если - временной интервал между последовательными точками (интервал аналого-цифрового преобразователя, используемого для получения данных  ). Частота, соответствующая k (= 1, 2, ..., N/2) имеет вид .

Рисунок 5 - Спектральная плотность мощности смоделированного шума

На практике спектральная плотность мощности сигнала является обычно менее гладкой, чем показанная на рисунке 5. При обработке реальных наблюдений обычно наблюдаются небольшие отклонения от гладкой кривой.

6.2 Процедуры оценки стандартного отклонения

При применении теории FUMI для определения оценки стандартного отклонения в области выполнения измерений необходимы выходные данные измерительного прибора, что в свою очередь позволяет определить минимальное обнаруживаемое значение. Полный набор этапов вычислений показан на рисунке 6.

Для определения параметров сигнала и шума необходимы значения выходных данных (хроматограммы, спектры). Параметры сигнала включают область сигнала от точки 0 до точки , область наложения сигнала и шума от точки () до точки и нулевую область от точки 0 до () (см. рисунок 3). Область сигнала включает () данных, область наложения сигнала и шума () данных, а нулевая область - b данных.

Параметры сигнала произвольны, но на практике будут полезны следующие рекомендации. Для Гауссовского сигнала, показанного на рисунке 3, область сигнала может охватывать ± или ± вокруг центра сигнала, где - стандартное отклонение (ширина сигнала), а центр сигнала является средним Гауссовского сигнала ( или ). Во многих случаях результатами измерений являются высота или вся площадь пика. Для измерений высоты пика . Для измерений площади пика и =0. Во всех случаях количество данных (точек) в области объединения сигнала и шума составляет (). Объединение по части области сигнала, как показано на рисунке 3, также эффективно с точки зрения точности. Нулевая область может быть установлена опытным путем, как область более узкая, чем область сигнала, как показано на рисунке 3.

В отличие от параметров сигнала, параметры шума (, , ) однозначно определяют в соответствии со стохастическими свойствами фонового шума. Некоторые примеры из хроматографии приведены в таблице 1. На первом этапе необходимо идентифицировать область фонового шума, где нет существенного вклада сигнала.