ГОСТ Р ИСО/МЭК 24730-21-2014 Информационные технологии (ИТ). Системы позиционирования в реальном времени (RTLS). Часть 21. Протокол радиоинтерфейса для связи на частоте 2,4 ГГц с использованием расширения спектра методом прямой последовательности (DSSS): Передатчики системы RTLS, работающие с одним расширяющим кодом и использующие кодирование данных DBPSK и схему расширения BPSK (Переиздание)

Приложение А
(справочное)

Определение места нахождения предметов методом трилатерации

А.1 Общее представление о методе трилатерации

Излучатель (метка) посылает сигнал, который принимается датчиками, находящимися по меньшей мере в трех различных местах. Каждый датчик регистрирует время поступления сигнала (toa - time-of-arrival). Различие по времени поступления сигнала между любыми двумя датчиками означает, что передатчик находится где-то на известной гиперболе. Использование двух пар датчиков (один из датчиков может быть общим для этих пар) означает, что передатчик находится на пересечении двух разных гипербол. На рисунке А.1 представлен пример такого случая.

     
Рисунок А.1 - Определение места нахождения метки методом трилатерации

Рисунок А.1 и уравнения, приведенные ниже, имеют отношение к двухмерной задаче (координаты , ). Если метка расположена на заранее известной поверхности [например, на плоской поверхности или на геоиде], то уравнения могут быть изменены, чтобы учитывать возвышение (высоту) датчика (координата ), но при этом не увеличивать степень многомерности решения. Однако если высота датчика неизвестна и должна быть определена, то уравнения должны быть изменены так, чтобы учитывать координату в качестве свободной переменной. В данном случае понадобится четыре датчика для решения задачи.

_______________

Геоид - выпуклая замкнутая поверхность.

А.2 Математическое решение задачи определения места нахождения

обозначает - время, когда метка вещала в месте нахождения (координаты , ). Датчик с координатами места нахождения (, ), обнаружит сигнал от метки в момент времени , где - время распространения сигнала от метки до датчика, которое равно отношению расстояния между меткой и датчиком к скорости света :

.                                              (1)

Учитывая разницу между моментами времени поступления сигнала () к двум датчикам, неизвестное время передачи становится несущественным:

.    (2)

Уравнение (2) используется для генерации фрагментов гипербол и , приведенных на рисунке А.1.

Далее приведены подробности вывода уравнений для нахождения места пересечения двух гипербол. Решение пары уравнений дает два возможных места нахождения метки, одно из которых действительное, а второе постороннее (почти всегда). Постороннее решение не удовлетворяет первоначальной паре уравнений .

А.3 Вывод уравнения

Для удобства вводится . После возведения в квадрат уравнения (2) и приведения подобных членов получаем следующее уравнение:

. (3)

Для упрощения вводится .

Далее получаем:

,         (4а)