ГОСТ 30804.4.7-2013 (IEC 61000-4-7:2009) Совместимость технических средств электромагнитная. Общее руководство по средствам измерений и измерениям гармоник и интергармоник для систем электроснабжения и подключаемых к ним технических средств (Издание с Поправкой)

Приложение С
(справочное)

Технические обоснования метода группирования

При обосновании методов измерений, установленных в настоящем стандарте, необходимо принимать во внимание противоречивые требования к процессу измерения (например, к ширине полосы частот измерений и разрешению по частоте). Поэтому при определении на практике результатов измерений достижение компромисса при выполнении противоречивых требований является в некоторых случаях более важным, чем обеспечение наивысшей точности оценки сигнала. В настоящем приложении рассмотрены обоснования, учтенные при разрешении нескольких наиболее важных вопросов.

Примечание - В настоящем стандарте напряжение и сила тока выражены в среднеквадратичных значениях, если не указано иное.

С.1 Энергетическая эквивалентность представления сигнала во временной и частотной области

Энергетическая теорема Релея устанавливает следующую эквивалентность мощности (или энергии) сигнала, представленного во временной и частотной областях:

,                                     (С.1)

где - функция времени;

- комплексное преобразование Фурье функции ;

.

Примечание - Так как мощность сигнала пропорциональна квадрату напряжения или тока, то выражение рассматривается как "мощность" сигнала. Поэтому, если - зависимость напряжения от времени, то левая часть выражения (С.1) (сигнал во временной области) имеет размерность В·с ("энергии"). Преобразование Фурье сигнала представляет собой спектральную плотность напряжения и, например, будет иметь размерность В/Гц или В·с, т.е. правая часть выражения (С.1) будет иметь размерность В·с ("энергии").

Если функция времени не является периодической, ее спектральная плотность должна быть непрерывной. Если функция является периодической, то она может быть представлена в интервале измерения длительностью , так как бесконечное повторение интервалов измерения будет полностью представлять функцию . Преобразование Фурье данного ограниченного во времени сигнала не является непрерывным и содержит спектральные линии, частоты которых отделены друг от друга интервалами . Произведение длительности временного интервала измерения на квадрат среднеквадратичного значения (комплексной) спектральной составляющей на частоте представляет собой (приблизительно) энергию, соответствующую непрерывной спектральной плотности в интервале частот от до . "Энергия" суммы спектральных линий эквивалентна "энергии" функции времени в пределах интервала измерения. Разделив "энергию" на длительность интервала измерения, получим следующее выражение:

.                                               (С.2)

Левая часть выражения (С.2) представляет собой среднюю мощность функции времени в пределах интервала измерения, правая часть выражения (С.2) - полную мощность всех спектральных линий.

Спектральные линии преобразования Фурье на отрицательных частотах являются сопряженными относительно спектральных линий при тех же положительных частотах, т.е. спектр "мощности" симметричен относительно частоты 0. При сложении частей спектра на отрицательных и положительных частотах выражение (С.2) может быть упрощено:

.                                      (С.3)

Определение амплитуды составляющей ряда Фурье в соответствии с выражением (3) (см. раздел 3) относится к , а не к (исключая , который относится к ). Поэтому или . Выражение (С.3) может быть, следовательно, представлено в виде:

.                        (С.4)

Практически номера коэффициентов в сумме выражения (С.4) должны быть ограничены, т.е. .

Если полоса частот сигнала ограничена частотой , то "мощность" составляющих порядка равна нулю, и они могут быть исключены из суммы в выражении (С.4). При этом необходимо, чтобы частота была вне полосы рабочих частот средства измерений.

С.2 Характеристики цифровых средств измерений

В настоящем стандарте рассмотрены цифровые СИ. В соответствии с формулой Шеннона функция времени должна быть дискретизирована с частотой отсчетов , так что коэффициенты спектральных составляющих должны быть рассчитаны вплоть до . Число отсчетов в измерительном окне составляет .

При идеальных условиях, указанных выше, т.е., если сигнал, преобразованный в последовательность дискретных величин, является периодическим, его полоса частот ограничена и интервал измерения синхронизирован с периодическим сигналом, выражение (С.4) может быть переписано в виде:

,                                        (C.5)