Действующий

ГОСТ Р 54521-2011 Статистические методы. Математические символы и знаки для применения в стандартах (Переиздание)

     17 Скаляры, векторы и тензоры


Скаляры, векторы и тензоры - математические объекты, используемые для обозначения некоторых физических величин и их значений. Они не зависят от выбора системы координат, однако каждый компонент вектора или тензора зависит от этого выбора.

Важно различать компоненты вектора и базисные векторы, т.е. величины , и и проекции вектора на оси координат , и . Компоненты вектора часто называют его координатами.

Декартовы компоненты положения вектора определяют декартовы координаты точек начала и конца данного вектора.

Вместо того чтобы рассматривать каждую координату вектора как значение физической величины (т.е. числовое значение, умноженное на единицу измерений), вектор может быть записан как вектор числовых значений, умноженный на единицу измерений (скаляр). Все единицы измерений являются скалярами.

Пример -

(в декартовых координатах),
     
     где
- сила;

- первый компонент, т.е. вектор силы с числовым значением 3 и единицей измерений (другие компоненты: и ) соответственно;
     
     (3, -2, 5) - вектор числовых значений;


- единица измерения силы.

То же относится к тензорам второго и более высокого порядка.

В данном разделе рассмотрены только декартовы прямоугольные координаты. Более общие случаи, требующие более сложных представлений, в настоящем стандарте не рассмотрены. Декартовы координаты обозначают , , или , , . В последнем случае используют индексы , , , , каждый со значениями от 1 до 3, и следующее соглашение суммирования: если такой индекс появляется неоднократно и суммирование по диапазону этого индекса понятно, то индекс под знаком может быть опущен.

Скаляр является тензором нулевого порядка, а вектор - тензором первого порядка.

Компоненты векторов и тензоров часто обозначают одинаковыми символами с соответствующими векторами и тензорами, например, используют обозначение для компонент вектора , - для компонент тензора второго порядка и - для компонент векторного произведения .

Знаки, символы, выражения для систем скаляров, векторов и тензоров приведены в таблице 17.1.


Таблица 17.1 - Знаки, символы, выражения для систем скаляров, векторов и тензоров

Номер знака, символа, выражения

Знак, символ, выражение

Значение и устный эквивалент

Примечания, примеры

17.1




Вектор

Для обозначения вектора может быть использована стрелка над буквенным символом

17.2

Сумма векторов и

17.3

Произведение скаляра или координаты и вектора

17.4



Модуль вектора .

Норма вектора

.

Обозначение также может быть использовано.

См. 9.16

17.5

0

0

Нулевой вектор

Модуль нулевого вектора равен 0

17.6


Единичный вектор направления

, .


17.7

, ,

, ,

Единичные базисные векторы.

Базисные векторы декартовой системы координат

Обозначения , , также могут быть использованы

17.8

, ,

Декартовы координаты вектора .

Декартовы компоненты вектора

.

, , - проекции вектора на оси координат (, , ) или составляющие векторы.

Если из контекста понятно, какие векторы являются базисными векторами, вектор может быть записан в виде:

,

, , ,
- вектор-радиус точки с координатами , ,

17.9


Символ дельты Кронекера


17.10

Символ Леви-Чивиты

.

.

Все другие равны 0

17.11

Скалярное произведение векторов и

.

.

.

Могут быть использованы также обозначения (, ) и (, )

17.12

Векторное произведение векторов и

Координаты векторного произведения в правосторонней декартовой системе координат имеют вид:

,

,

.

(см. 17.10).

Пример - ,

где ;

;

;

.

Могут быть использованы также обозначения
      [,] и  

17.13




Оператор набла



Оператор набла также называют "оператором Гамильтона"

17.14




Градиент

.

Следует избегать записи оператора тонкими линиями

17.15




Дивергенция


17.16



Ротор векторного поля

Координаты имеют вид:

,

,

.

Могут быть использованы также обозначения и .

(см. 17.10)

17.17


Оператор Лапласа, лапласиан

     

17.18

Оператор Д'Аламбера


17.19


Тензор второго порядка

Вместо обозначения с использованием жирного шрифта может быть использовано обозначение с двумя стрелками

17.20

, , …,
, , …,

Декартовы компоненты тензора

, где , , …, - составляющие тензоры тензора .

Если из контекста ясно, какие использованы базисные векторы, тензор может быть записан в следующем виде:


17.21



Тензорное произведение двух векторов и

Результирующий тензор второго порядка имеет координаты:


17.22

Произведение двух тензоров второго порядка и

Произведение представляет собой тензор четвертого порядка с координатами:


17.23

Внутреннее произведение двух тензоров второго порядка и

Произведение представляет собой тензор второго порядка с координатами:


17.24

Внутреннее произведение тензора второго порядка и вектора

Произведение представляет собой вектор с координатами:

17.25

Скалярное произведение двух тензоров второго порядка и

Произведение представляет собой скалярную величину: