ГОСТ ИСО 11453-2005 Статистические методы. Статистические представления данных. Проверка гипотез и доверительные интервалы для пропорций (Переиздание)

Характеристика: Наличие видеомагнитофонов в квартирах.

Процедура определения: Интервью.

Элементы: Жилые дома в определенном районе.

Критерий для идентификации целевых элементов: Наличие, по крайней мере, одного видеомагнитофона.

Примечания: Нет.

Выбранный уровень доверия 0,95.

Объем выборки

Число целевых элементов в выборке .

Определение границы доверительного интервала

а) Процедура для

1) Случай

2) Случай

По таблице 2 для известных значений , и определяют:

b) Процедура для

1) Случай

2) Случай

3) Случай

По таблице 3 для определяют

Значение , соответствующее выбранному уровню доверия, определяют по следующей таблице.

0,90

0,95

0,99

0,411

0,677

1,353

где

Результат (искомый доверительный интервал):

.

Характеристика: Наличие видеомагнитофонов в квартирах.

Процедура определения: Интервью.

Элементы: Жилые дома в определенном районе.

Критерий для идентификации целевых элементов: Наличие, по крайней мере, одного видеомагнитофона в здании.

Примечания: Нет.

Выбранный уровень доверия .

Объем выборки .

Число целевых элементов в выборке .

Определение границ доверительного интервала

а) Процедура для

1) Определение верхней границы доверительного интервала

- Случай

- Случай

По таблице 2 для известных значений , и определяют:

2) Определение нижней границы доверительного интервала:

- Случай

- Случай

По таблице 2 для известных значений ,  и определяют:

b) Процедура для

3) Определение верхней границы доверительного интервала

- Случай

- Случай

- Случай

По таблице 3 для определяют .

Значение , соответствующее выбранному уровню доверия, определяют по следующей таблице.

0,90

0,95

0,99

0,677

0,960

1,659

,

где .

3) Определение нижней границы доверительного интервала:

- Случай

- Случай

=

- Случай

По таблице 3 для определяют .

Значение , соответствующее выбранному уровню доверия, определяют по следующей таблице.

0,90

0,95

0,99

0,677

0,960

1,659

,

где .

Результаты (искомый доверительный интервал):

;

;

.

Характеристика: Наличие видеомагнитофонов в квартирах.

Процедура определения: Интервью.

Элементы: Жилые дома в определенном районе.

Критерий для идентификации целевых элементов: Наличие, по крайней мере, одного видеомагнитофона.

Примечания: Нет.

Заданное значение .

Выбранный уровень значимости .

Объем выборки .

Число целевых элементов в выборке .

Процедура проверки гипотез:

I Критические значения известны (см. 7.2.1)

Гипотезу отклоняют, если .

В противном случае гипотезу не отклоняют.

II Критические значения неизвестны

а) Случай

Гипотезу не отклоняют.

b) Случай

1) Процедура для

Определяют по 8.1.2 (форма А-2) одностороннюю нижнюю доверительную границу для , и уровня доверия ()

.

Гипотезу отклоняют, если , в противном случае гипотезу не отклоняют.

2) Процедура для

- Случай

[см. 8.1.2 b) 2)].

Гипотезу отклоняют, если , в противном случае гипотезу не отклоняют.

- Случай

По таблице 3 для определяют

Гипотезу отклоняют, если , в противном случае гипотезу не отклоняют.

Результат проверки гипотез:

Гипотеза отклонена

Гипотеза не отклонена

Определение критических значений

- наибольшее целое число , для которого процедура проверки гипотез по форме В-2 (II) не ведет к отклонению нулевой гипотезы. Значение определяют методом итераций путем повторного применения формы В-2 (II) с различными значениями , пока не будут найдены такие два значения, которые отличаются друг от друга на 1, и при этом одно из значений приводит к отклонению нулевой гипотезы , а другое значение приводит к неотклонению нулевой гипотезы . Начальное значение может быть получено следующим образом.

В качестве * принимают , округленное до ближайшего целого числа, = 10.

             (по 8.1.1, форма А-1)

равно значению , округленному до ближайшего целого числа, и равно 14.

Интерпретация результатов проверки гипотез по форме В-2(II):

для

гипотезу не отклоняют;

для

гипотезу отклоняют.

Результат проверки гипотез:

Критическое значение (или одно из критических значений) может не существовать для некоторых значений и/или для очень маленьких объемов выборок .

* - вспомогательная величина для нахождения .

Характеристика: Наличие видеомагнитофонов в квартирах.

Процедура определения: Интервью.

Элементы: Жилые дома в определенном районе.

Критерий для идентификации целевых элементов: Наличие, по крайней мере, одного видеомагнитофона.

Примечания: Нет.

Заданное значение .

Выбранный уровень значимости .

Объем выборки .

Число целевых элементов в выборке .

Процедура проверки гипотез

I Критические значения известны (см. 7.2.1)

                                         ;

Гипотезу отклоняют, если или , в противном случае гипотезу не отклоняют.

II Критические значения неизвестны

а) Процедура

Определяют по 8.1.3 (форма А-3) двусторонние доверительные границы для , и уровня доверия ()

                                         ;

Гипотезу отклоняют, если или , в противном случае гипотезу не отклоняют.

b) Процедура для

1) Случай

Гипотезу отклоняют, если , в противном случае гипотезу не отклоняют.

2) Случай

Гипотезу отклоняют, если , в противном случае гипотезу не отклоняют.

3) Случай

По таблице 3 для определяют

;

.

Гипотезу отклоняют, если или , в противном случае гипотезу не отклоняют.

Результат проверки гипотез:

Гипотеза отклонена

Гипотеза не отклонена

Определение критических значений

- наименьшее неотрицательное целое число и - наибольшее целое число , для которого проверка гипотез по форме В-3 (II) не ведет к отклонению . Значения и определяют методом итераций путем повторного применения формы В-3 (II) с различными значениями до тех пор, пока не будут определены такие две пары значений, у которых значения в каждой паре отличаются друг от друга на 1, и при этом одно из значений приводит к отклонению нулевой гипотезы , а другое значение приводит к неотклонению нулевой гипотезы . Начальное значение может быть получено следующим образом.

В качестве определяют значение , округленное до ближайшего целого числа,

;

и определяют по 8.1.3 (форма А-3).

(нижнее) равно значению , округленному до ближайшего целого числа, и равно 19.

(верхнее) равно значению , округленному до ближайшего целого числа, и равно 43.

Интерпретация результатов проверки гипотез по форме В-3 (II):

для гипотезу отклоняют;

для и гипотезу не отклоняют;

для гипотезу отклоняют.

Результаты проверки гипотез:

;  .

Критическое значение (или одно из критических значений) может не существовать для некоторых значений и/или для очень маленьких объемов выборок .

 - вспомогательная величина для нахождения .

Характеристика: Наличие видеомагнитофонов в квартирах.

Процедура определения: Интервью.

Элементы:

1) жилые дома в области А;

2) жилые дома в области В.

Критерий для идентификации целевых элементов: Наличие, по крайней мере, одного видеомагнитофона в зданиях.

Примечания: Нет.

Выбранный уровень значимости .

Объем выборки 1 .

Объем выборки 2 .

Число целевых элементов в выборке 1 .

Число целевых элементов в выборке 2 .

Процедура проверки гипотез для тривиальных случаев

.

Неравенство является истинным

Неравенство не является истинным

Если неравенство является истинным, нулевую гипотезу не отклоняют; результат проверки гипотез может быть объявлен немедленно. В противном случае проводят следующую процедуру, которая может привести к отклонению или к неотклонению гипотезы .

Процедура проверки гипотез для нетривиальных случаев

Если, по меньшей мере, одно из четырех значений меньше или равно , применяют биномиальную аппроксимацию, приведенную в I настоящей формы, в противном случае применяют нормальную аппроксимацию, приведенную в II настоящей формы. Однако, даже если вышеупомянутое условие выполнено, можно применять нормальную аппроксимацию, если выполнены два следующих условия:

- при применении биномиальной аппроксимации в таблице 4 распределения необходимо использовать интерполяцию;

- и или и попарно являются величинами одного порядка.

Решение:

Должна применяться биномиальная аппроксимация (продолжить с I)

Должна применяться нормальная аппроксимация (продолжить с II)

I Биномиальная аппроксимация

Определение величин: , , ,

Если [ и ] или [ и ], искомые величины определяют следующим образом:

;

;

;

.

В противном случае:

Вычисление статистики и определение значений по таблице 4

а) Случай

Числа степеней свободы -распределения:

По таблице 4 для , и (при необходимости применяют интерполяцию) определяют:

b) Случай

     
.

Число степеней свободы -распределения:

;

.

По таблице 4 для , и (при необходимости применяют интерполяцию) определяют

.

Заключение в нетривиальном случае для биномиальной аппроксимации:

Гипотезу отклоняют, если , в противном случае гипотезу не отклоняют.

II Нормальная аппроксимация

Вычисление статистики и определение значений по таблице 3:

По таблице 3 для определяют

Заключение в нетривиальном случае для нормальной аппроксимации:

Гипотезу отклоняют, если , в противном случае гипотезу не отклоняют.

Результат проверки гипотез:

Гипотеза отклонена

Гипотеза не отклонена

Характеристика:

1) наличие видеомагнитофонов марки А в квартирах;

2) наличие видеомагнитофонов марки В в квартирах.

Процедура определения: Интервью.

Элементы: Жилые дома одной определенной области.

Критерий для идентификации целевых элементов:

1) наличие, по крайней мере, одного видеомагнитофона марки А;

2) наличие, по крайней мере, одного видеомагнитофона марки В.

Примечания: Нет.

Выбранный уровень значимости .

Объем выборки .

Объем выборки .

Число целевых элементов в выборке .

Число целевых элементов в выборке .

Проверка гипотез для тривиального случая

.

Равенство является истинным

Равенство не является истинным

Если равенство является истинным, нулевую гипотезу не отклоняют и результат проверки гипотез может быть объявлен немедленно. В противном случае проводят следующую процедуру, которая может привести к отклонению или к неотклонению .

Процедура проверки гипотез для нетривиальных случаев

Если, по меньшей мере, одно из четырех значений меньше или равно , применяют биномиальную аппроксимацию, приведенную в I настоящей формы, в противном случае применяют нормальную аппроксимацию, приведенную в II настоящей формы. Однако, даже если вышеупомянутое условие выполнено, можно применять нормальную аппроксимацию, если выполнены два следующих условия:

- при применении биномиальной аппроксимации в таблице 4 -распределения необходимо использовать интерполяцию;

- и или () и () попарно являются величинами одного порядка.

Решение:

Должна применяться биномиальная аппроксимация (I)

Должна применяться нормальная аппроксимация (II)

I Биномиальная аппроксимация

Определение величин: , , ,

Если [ и ] или  [ и ], определяют следующим образом:

В противном случае:

Вычисление статистики и определение значений по таблице 4

а) Случай

1) Случай

Значения , и определяют по 8.3.2 (форма С-2)

Число степеней свободы -распределения:

По таблице 4 для , и (при необходимости применяют интерполяцию) определяют:

2) Случай

Значения , и определяют по 8.3.1 (форма С-1).

Число степеней свободы -распределения

По таблице 4 для , и (при необходимости применяют интерполяцию) определяют:

b) Случай

1) Случай

Значения , и определяют по 8.3.2 (форма С-2)

Число степеней свободы -распределения:

По таблице 4 для , и (при необходимости применяют интерполяцию) определяют:

2) Случай

Значения , и определяют по 8.3.1 (форма С-1)

Число степеней свободы -распределения:

По таблице 4 для , и (при необходимости применяют интерполяцию) определяют:

Заключение в нетривиальном случае для биномиальной аппроксимации:

Гипотезу отклоняют, если:

в случае

или

в случае ,

в противном случае гипотезу не отклоняют.

II Нормальная аппроксимация

Вычисление статистики и определение значений по таблице 3

а) Случай

Значение определяют по 8.3.2 (форма С-2)

.

По таблице 3 для определяют

.

b) Случай

Значение определяют по 8.3.1 (форма С-1).

По таблице 3 для определяют

Заключение в нетривиальном случае для нормальной аппроксимации

Гипотезу отклоняют, если:

в случае

или

в случае .

В противном случае гипотезу не отклоняют.

Результат проверки гипотез:

Гипотеза отклонена

Гипотеза не отклонена