• Текст документа
  • Статус
  • Сканер копия
Оглавление
Поиск в тексте
Действующий


ГОСТ Р ИСО 5479-2002

Группа Т59

     
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

     
     
Статистические методы

     
ПРОВЕРКА ОТКЛОНЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
ОТ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

     
Statistical methods. Tests for departure of the probability distribution
from the normal distribution



ОКС 03.120.30
ОКСТУ 0011

Дата введения 2002-07-01


     
Предисловие

1 РАЗРАБОТАН И ВНЕСЕН Техническим комитетом по стандартизации ТК 125 "Статистические методы в управлении качеством продукции";

Акционерным обществом "Научно-исследовательский центр контроля и диагностики технических систем" (АО НИЦ КД)

2 ПРИНЯТ И ВВЕДЕН В ДЕЙСТВИЕ Постановлением Госстандарта России от 22 января 2002 г. N 25-ст

3 Настоящий стандарт представляет собой аутентичный текст международного стандарта ИСО 5479-97 "Статистическое представление данных. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения"

4 ВВЕДЕН ВПЕРВЫЕ

Введение


Настоящий стандарт устанавливает критерии, с помощью которых можно проверить, подчиняется ли генеральная совокупность данных нормальному закону распределения. Это следующие виды критериев: графический метод, направленный критерий, многонаправленный критерий, многосторонний критерий, совместный критерий для нескольких независимых выборок.

Целью настоящего стандарта является - привести критерии, удобные для использования специалистами в промышленности для проверки на нормальность различных данных в ходе проведения измерений, контроля и испытаний.

В настоящем стандарте рассматриваются способы построения статистик и правила принятия решений для критериев проверки на нормальность.

1 Область применения

1.1 Настоящий стандарт устанавливает методы и критерии для проверки отклонения распределения вероятностей от нормального распределения при независимых наблюдениях.

1.2 Применение критерия на отклонение от нормального распределения необходимо во всех случаях, когда есть сомнение, нормально ли распределены наблюдения. В случае робастных методов (то есть таких, что результаты наблюдений незначительно изменяются, когда реальное распределение вероятностей наблюдений ненормально) критерий на отклонение от нормального распределения не применяют. Например случай, когда выборочное среднее арифметическое единственной случайной выборки, полученной в результате наблюдений, необходимо сопоставить с данным теоретическим значением с использованием ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения-критерия.

1.3 Необязательно использовать такой критерий при каждом обращении к статистическим методам, основанным на гипотезе нормальности. Существуют случаи, когда в нормальности распределения наблюдений нет сомнения: есть теоретические (например физические) обоснования, подтверждающие гипотезу, или гипотезу считают приемлемой согласно априорной информации.

1.4 Критерии на отклонение от нормального распределения, установленные в настоящем стандарте, в основном рассчитаны на полные, несгруппированные данные.

2 Нормативные ссылки


В настоящем стандарте использована ссылка на следующий стандарт:

ГОСТ Р 50779.10-2000 (ИСО 3534.1-93) Статистические методы. Вероятность и основы статистики. Термины и определения

3 Определения и обозначения

3.1 Определения

В настоящем стандарте применяются термины с соответствующими определениями по ГОСТ Р 50779.10.

3.2 Обозначения

В настоящем стандарте использованы следующие обозначения:

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

- коэффициент критерия Шапиро-Уилка;

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения; ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

- вспомогательные величины для критерия Эппса-Палли;

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

- эмпирическая кривизна;

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

- эмпирическая асимметрия;

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

- математическое ожидание;

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

- вспомогательная величина для совместного критерия, использующего несколько независимых выборок;

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

- число последовательных выборок;

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

- нулевая гипотеза;

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

- альтернативная гипотеза;

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

- порядковый номер значений ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения в выборке, упорядоченной в порядке неубывания;

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

- выборочный центральный момент порядка ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения;

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

- объем выборки;

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

- вероятность, связанная с ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения-квантилью распределения вероятностей;

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

- вероятность;

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

- вероятность, связанная с ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения;

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

- вспомогательная величина для критерия Шапиро-Уилка;

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

- статистика критерия;

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

- статистика критерия Эппса-Палли;

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

- ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения-квантиль стандартного нормального распределения;

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

- вспомогательная величина для совместного критерия, использующего несколько независимых выборок;

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

- статистика критерия Шапиро-Уилка;

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

- вспомогательная величина для совместного критерия, использующего несколько независимых выборок;

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

- случайная переменная;

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

- значение случайной переменной ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения;

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

- ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения-е значение в выборке, упорядоченной в порядке неубывания;

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

- ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения-e значение в выборке, упорядоченной в порядке неубывания;

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

- среднее арифметическое;

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

- уровень значимости;

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

- вероятность ошибки второго рода;

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

- кривизна совокупности;

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

- эксцесс совокупности;

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

- асимметрия совокупности;

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения; ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения; ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

- вспомогательные величины для совместного критерия, использующего несколько независимых выборок;

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения; ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения; ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

- коэффициенты совместного критерия, использующего несколько независимых выборок;

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

- математическое ожидание (центральный момент первого порядка);

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

- дисперсия совокупности (центральный момент второго порядка);

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

- центральный момент совокупности третьего порядка;

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

- центральный момент совокупности четвертого порядка;

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

- стандартное отклонение совокупности (ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения).

4 Общие положения

4.1 Существуют различные критерии на отклонение от нормальности. В настоящем стандарте установлены графические методы, моментные критерии, регрессионные критерии и критерии характеристических функций. Критерии хи-квадрат подходят только для сгруппированных данных, и так как группирование приводит к потере информации, в данном стандарте они не рассмотрены.

4.2 Если о выборке нет дополнительной информации, рекомендуется сначала построить нормальный вероятностный график, то есть построить кумулятивную функцию распределения значений, полученных в результате наблюдений, на бумаге для нормальных вероятностных графиков с осями координат, в которых кумулятивная функция нормального распределения представлена прямой линией.

Этот метод, установленный в разделе 5, позволяет сразу видеть, близко ли полученное распределение к нормальному. Используя данную дополнительную информацию, необходимо решить, какой критерий можно применить: направленный, регрессионный, критерий характеристической функции или никакой. Такое графическое представление нельзя рассматривать как строгий критерий, но даваемая им суммарная информация является существенным дополнением к любому критерию на отклонение от нормального распределения. В случае отклонения нулевой гипотезы эта информация дает возможность определить тип альтернативной гипотезы, которая могла бы быть применима.

4.3 Критерий на отклонение от нормального распределения имеет нулевую гипотезу, состоящую в том, что выборка содержит ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения значений независимых наблюдений, подчиняющихся одному и тому же нормальному распределению. Он заключается в вычислении функции ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения от этих значений, называемой статистикой критерия. Нулевую гипотезу о нормальности распределения принимают или отклоняют в зависимости от того, лежит ли статистика ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения в области ожидаемых значений, соответствующих нормальному распределению.

4.4 Критическая область критерия - это совокупность значений ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения, ведущих к отклонению нулевой гипотезы. Уровень значимости критерия - это вероятность ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения получения значения ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения в критической области, когда нулевая гипотеза верна. Этот уровень дает вероятность ошибочного отклонения нулевой гипотезы (вероятность ошибки первого рода).

Граница критической области (или в случае двустороннего критерия - границы критической области) - это критическое значение(ния) статистики критерия.

4.5 Мощность критерия - это вероятность отклонения нулевой гипотезы, когда она неверна. Высокая мощность соответствует низкой вероятности ошибочного применения нулевой гипотезы (вероятности ошибки второго рода).

Мощность критерия (то есть для данной ситуации вероятность, что нулевая гипотеза о нормальности распределения будет отклонена, если она неверна) возрастает с ростом числа наблюдений. Например, отклонение от нормального распределения, которое могло быть очевидным при использовании критерия с большой выборкой, можно не обнаружить при том же значении критерия с меньшей выборкой.

4.6 Существуют два вида критериев на отклонение от нормального распределения: направленный критерий - когда форму этого отклонения устанавливают в альтернативной гипотезе и многосторонний критерий - когда форму отклонения в ней не устанавливают.

В направленном критерии критическую область определяют так, чтобы мощность критерия достигала максимального значения. В многостороннем критерии необходимо отделить критическую область так, чтобы она состояла из значений статистики критерия, лежащих далеко от ожидаемого значения.

Если имеются предположения о форме отклонения от нормального распределения, то есть рассматривается распределение, у которого асимметрия или кривизна отличны от свойственных нормальному распределению, то следует применить направленный критерий, так как его мощность больше, чем у многостороннего.

4.7 Направленный критерий является односторонним. В случае асимметрии он сдвигается к положительной или отрицательной асимметрии. Если совместно рассматривают несколько альтернативных гипотез - это критерий многонаправленный. Такие критерии используют при совместном рассмотрении ненулевых асимметрии и кривизны, отличных от свойственных нормальному распределению.

4.8 Таблицы 8-14 и рисунок 9 позволяют применять критерии для наиболее распространенных уровней значимости ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения, то есть ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=0,05 и ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=0,01. До использования критерия следует установить уровень значимости. Критерий может привести к отклонению нулевой гипотезы при уровне значимости 0,05 и не отклонению той же гипотезы при уровне значимости 0,01.

4.9 При вычислении статистики критерия необходимо использовать не менее шести значащих цифр. Значения подсовокупностей, промежуточных результатов и вспомогательных величин следует округлять не менее чем до шести значащих цифр.

5 Графический метод

5.1 Кумулятивную функцию распределения наблюденных значений строят на бумаге для нормальных вероятностных графиков. Вертикальная ось имеет нелинейную шкалу, соответствующую площади под стандартной функцией нормального распределения и размечена значениями кумулятивной относительной частоты. Другая ось имеет линейную шкалу для упорядоченных значений ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения. Если кумулятивная функция распределения переменной ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения приближается к прямой линии, то распределение переменной ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения будет нормальным.

Иногда эти оси меняют местами. Если выполнено нормирование переменной ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения, линейную шкалу можно заменить логарифмической, квадратичной, обратной или другой шкалой.

На рисунке 1 приведен пример бумаги для нормальных вероятностных графиков. По вертикальной оси значения кумулятивной относительной частоты даны в процентах, а по горизонтальной - произвольная линейная шкала.

Рисунок 1 - Бумага для нормальных вероятностных графиков

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения


Рисунок 1 - Бумага для нормальных вероятностных графиков


Чистый бланк бумаги для нормальных вероятностных графиков приведен в приложении А.


Если график на этой бумаге представлен набором точек, которые рассеянны около прямой линии, то это дает первое подтверждение утверждению, что генеральная совокупность, из которой взята выборка, подчиняется нормальному закону распределения.

Этот подход важен тем, что дает наглядную информацию по типу отклонения от нормального распределения.

Если график показывает, что данные подчинены другому распределению, не имеющему отношения к нормальному (например график кумулятивной функции распределения такой, как на рисунке 5 или 6), то в некоторых случаях к нормальному распределению можно перейти с помощью специального преобразования.

Если график показывает, что данные не подчиняются простому однородному распределению, а скорее всего принадлежат смеси двух или нескольких однородных подсовокупностей (например, если график кумулятивной функции распределения такой, как на рисунке 7), то рекомендуется выявить подсовокупности и анализ каждой из них проводить отдельно.

Этот графический метод не является критерием на отклонение от нормального распределения в строгом смысле. Например, в случае малых выборок с его помощью можно получить выраженные кривые нормальных распределений, но для больших выборок кривые могут представлять ненормальные распределения.

5.2 Графическая процедура состоит в расположении наблюденных значений (ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения) в неубывающем порядке и затем в нанесении значений вероятности ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения, рассчитанных по формуле

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения, (1)


на бумагу для нормальных вероятностных графиков (где ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения - порядковый номер ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения; ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения).

Примечание 1 - Часто вместо формулы (1) применяют следующие формулы: ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения и ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения. Применение данных формул не рекомендуется, так как они дают плохую аппроксимацию нормальной функции распределения ожидаемой порядковой статистики ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения.

5.3 Пример использования бумаги для нормальных вероятностных графиков показан на рисунке 2.

Рисунок 2 - График серии наблюдений на бумаге для нормальных вероятностных графиков


ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения


Рисунок 2 - График серии наблюдений на бумаге для нормальных вероятностных графиков

В таблице 1 приведены значения ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения в порядке неубывания как результат серии из 15 независимых наблюдений при испытаниях на усталость вращающегося соединения.


Таблица 1 - Значения ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения серии из 15 независимых наблюдений и соответствующие им значения ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

1

0,041

0,200

0,301

2

0,107

0,330

0,519

3

0,172

0,445

0,648

4

0,238

0,490

0,690

5

0,303

0,780

0,892

6

0,369

0,920

0,964

7

0,343

0,950

0,978

8

0,500

0,970

0,987

9

0,566

1,040

1,017

10

0,631

1,710

1,233

11

0,697

2,220

1,346

12

0,762

2,275

1,357

13

0,828

3,650

1,562

14

0,893

7,000

1,845

15

0,959

8,800

1,944



Примечание 2 - В таблице 1 и последующих примерах единицы величин опущены, так как это несущественно для рассматриваемых критериев в данном стандарте.


Серию точек, показанную на рисунке 2а) получают на основе значений вероятностей ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения и ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения. Из графика видно, что эти точки не образуют прямой линии. Если ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения заменить на ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения, то новый график на рисунке 2b) близок к прямой линии. Из этого следует, что гипотеза нормального распределения для логарифма наблюдений адекватна.

5.4 Рассеяние полученных экстремальных значений больше, чем у средних арифметических значений, поэтому шкала кумулятивной относительной частоты расширяется к краям. Наличие небольшого числа значений на любом конце графика функции кумулятивного распределения, которые заметно отклоняются от прямой линии, определяемой средними арифметическими значениями, нельзя рассматривать как показатель отклонения от нормального распределения.

Чем больше объем выборки, тем более надежны заключения, которые можно вывести из вида графика функции распределения.

Если график кумулятивной функции распределения наблюдаемых значений таков, что большие значения находятся ниже прямой линии, образуемой другими значениями, то такое преобразование как ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения или ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения приведет к графику, более соответствующему прямой линии [см. рисунки 2b) и 5].

На рисунках 3-7 верхние графики представляют собой кумулятивные функции распределения; для сравнения нижние графики представляют соответствующие функции плотности распределения.

Рисунок 3 - Кумулятивная функция распределения и функция плотности распределения с меньшей кривизной


ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения


Рисунок 3 - Кумулятивная функция распределения (вверху) и функция плотности распределения
с меньшей кривизной (внизу)

Рисунок 4 - Кумулятивная функция распределения и функция плотности распределения с большой кривизной


ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения


Рисунок 4 - Кумулятивная функция распределения (вверху) и функция плотности распределения
с большой кривизной (внизу)

Рисунок 5 - Кумулятивная функция распределения и функция плотности распределения с положительной асимметрией


ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения


Рисунок 5 - Кумулятивная функция распределения (вверху) и функция плотности распределения
с положительной асимметрией (внизу)

Рисунок 6 - Кумулятивная функция распределения и функция плотности распределения с отрицательной асимметрией


ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения


Рисунок 6 - Кумулятивная функция распределения (вверху) и функция плотности распределения
с отрицательной асимметрией (внизу)

Рисунок 7 - Функции, полученные наложением двух различных кумулятивных функций распределения и функций плотности распределения


ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения


Рисунок 7 - Функции, полученные наложением двух различных кумулятивных функций распределения (вверху)
и функций плотности распределения (внизу)


Если график кумулятивной функции распределения полученных значений подобен графикам на рисунках 3 или 4, то соответствующее частотное распределение имеет меньшую кривизну (график более плоский) или большую кривизну (график более выпуклый) соответственно.

Графики кумулятивных функций распределения на рисунках 5 и 6 относятся к функциям плотности распределения с положительной и отрицательной асимметрией.

На рисунке 7 представлены кумулятивная функция распределения и функция плотности распределения, полученные от наложения двух различных функций плотности.

6 Направленные критерии

6.1 Общие положения

6.1.1 Направленные критерии относятся к характеристикам асимметрии или эксцесса распределения вероятностей наблюдений. Они основаны на фактах, что в случае нормальной случайной переменной ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения со средним ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения:

центральный момент третьего порядка равен

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения; (2)


нормированный центральный момент третьего порядка (асимметрия совокупности) равен

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения; (3)


нормированный центральный момент четвертого порядка (кривизна совокупности) равен

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения, (4)


где

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения - момент второго порядка; (5)

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения - момент четвертого порядка; (6)


ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения - асимметрия совокупности, которая может быть большей, равной или меньшей чем нуль;

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения - кривизна совокупности (всегда положительная);

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения - эксцесс совокупности.

При этом всегда выполняется неравенство ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения.

6.1.2 В критерии на асимметричность альтернативную гипотезу можно задать в виде

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения, что эквивалентно ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения [положительная асимметрия, (см. рисунок 5)] или

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения, что эквивалентно ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения [отрицательная асимметрия, (см. рисунок 6)].

Распределение вероятностей с положительной асимметрией имеет повышенное рассеяние больших, а не малых значений переменных. Обратное верно для случая с отрицательной асимметрией.

6.1.3 В критерии на эксцесс совокупности альтернативную гипотезу можно задать в виде:

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения, что означает большую кривизну [функция плотности распределения более выпуклая (см. рисунок 4)] или

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения, что означает меньшую кривизну [функция плотности распределения более плоская (см. рисунок 3)].

По сравнению с нормальным распределением в распределении с большей кривизной преобладают значения переменной, близкие к среднему и к обоим краям. Обратное верно для меньшей кривизны.

6.1.4 Направленный критерий применяют только при наличии конкретной информации о том, как распределение может отличаться от нормального. Эта информация может исходить из физической природы данных или вида возмущения, которое может повлиять на процесс, генерирующий совокупность данных.

Например тот факт, что переменная неотрицательна со средним арифметическим, близким к нулю, в сравнении со значением стандартного отклонения, может быть основанием для положительной асимметрии реального распределения вероятностей. Аналогично, любое возмущение в генерирующем совокупность данных процессе, которое создает смесь нормальных совокупностей с одним средним, но разными дисперсиями, приводит к распределению вероятностей, отличному от нормального с ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения.

6.1.5 Выбор направленного критерия следует основывать на общих соображениях о природе наблюдений или процесса, генерирующего эти наблюдения, а не на конкретной форме распределения вероятностей наблюдаемых значений. В последнем случае могут считаться объективными только результаты многостороннего критерия.

6.1.6 Если ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения - значения случайной переменной ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения серии из ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения наблюдений, то среднее арифметическое или момент первого порядка рассчитывают по формуле

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения; (7)


моменты второго, третьего и четвертого порядков соответственно (ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=2, 3, 4) рассчитывают по формуле

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения. (8)


Статистики критерия на асимметричность и кривизну представлены в следующем виде соответственно:

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения (9)


и

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения. (10)

6.2 Направленный критерий проверки на асимметрию, использующий статистику ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

Этот критерий применим при ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения (из практических соображений таблица 8 ограничена значением ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения).

Если альтернативная гипотеза заключается в наличии положительной асимметрии, критерий следует выполнять только при условии ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения. Если альтернативная гипотеза заключается в наличии отрицательной асимметрии, критерий следует выполнять только при условии ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения.

В обоих случаях решение принимают в пользу отклонения нулевой гипотезы при уровне значимости ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения, когда статистика ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения превышает ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения-квантиль для ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения.

В таблице 8 приведены значения статистики ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения для ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=0,95, ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=0,99 и объема выборки ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения.

Пример 1

Пример относится к применению направленного критерия с альтернативной гипотезой с использованием статистики ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения. В таблице 2 приведена серия из 50 независимых измерений толщины заболони* деревьев, предназначенных для использования в качестве телеграфных столбов. Поскольку эта толщина неотрицательна и близка к нулю, можно предположить положительную асимметрию. Поэтому необходимо применить соответствующий направленный критерий с альтернативной гипотезой ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения(ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения).
_________________
* Заболонь - наружный молодой, менее плотный слой древесины, лежащий непосредственно под корой.


Таблица 2 - Значения толщины заболони для ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=50

Толщина заболони

1,25

2,05

2,60

3,10

4,00

1,35

2,10

2,60

3,15

4,00

1,40

2,15

2,70

3,15

4,05

1,50

2,15

2,75

3,20

4,05

1,55

2,15

2,75

3,30

4,10

1,60

2,20

2,80

3,45

4,20

1,75

2,25

2,95

3,50

4,45

1,75

2,35

2,95

3,50

4,50

1,85

2,40

3,00

3,80

4,70

1,95

2,55

3,05

3,90

5,10

Примечание - Значения толщины заболони расположены в порядке неубывания.



Из полученных в ходе наблюдений значений, приведенных в таблице 2, вычислены следующие параметры:

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения;

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения;

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения,

где ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения - среднее арифметическое;

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения, ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения - моменты второго и третьего порядков соответственно.

Следовательно асимметрия совокупности равна ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения.

При уровне значимости ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=0,05, то есть ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения, и объеме выборки ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения критическое значение статистики критерия (значение ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения-квантили) равно 0,53 (см. таблицу 8). Это значение более, чем вычисленное значение ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения. Значит нулевая гипотеза нормального распределения не отклоняется при выбранном уровне значимос

ти.

6.3 Направленный критерий проверки на кривизну с использованием статистики ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

Этот критерий применим при ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения; из практических соображений таблица 9 ограничена значением ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения.

В критерии на большую кривизну альтернативная гипотеза представлена в следующем виде: ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения. Если вычисленное значение ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения превышает критическое значение статистики критерия (значение ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения-квантили) при ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения или ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения и объеме выборки ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения, то нулевая гипотеза должна быть отклонена при определенном уровне значимости, например ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=0,05 или ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=0,01.

В критерии на меньшую кривизну альтернативная гипотеза представлена в следующем виде: ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения. Если вычисленное значение ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения менее критического значения статистики критерия (значение ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения-квантили) при ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=0,05 или ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=0,01 и объеме выборки ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения, то нулевая гипотеза должна быть отклонена при определенном уровне значимости, например ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=0,05 или 0,01.

В таблице 9 приведены критические значения статистики критерия (значение ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения-квантили) ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения для ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=0,01, 0,05, 0,95 и 0,99 и объема выборки ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения.

Пример 2

Пример относится к применению направленного критерия на кривизну с использованием статистики ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения. В таблице 3 приведена серия из 50 независимых измерений. В измерительном приборе существует дефект. Некоторые из измерений могли подвергнуться влиянию этого дефекта, приводящего к вариации рассеяния этих измерений.

Из-за упомянутого дефекта можно предположить, что для распределения наблюдений необходимо использовать статистику ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения, соответствующий направленный критерий и альтернативную гипотезу ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения.


Таблица 3 - Серия из 50 измерений

Значения измерений

9,5

5,1

5,7

16,6

12,9

14,4

5,8

10,8

20,9

13,3

10,2

9,2

22,5

21,5

8,5

4,2

12,9

5,5

9,1

3,3

17,1

6,3

8,6

11,9

1,4

4,4

3,1

7,4

12,9

12,9

4,5

12,9

6,9

26,6

16,3

8,5

11,9

7,9

7,5

15,6

9,9

11,4

3,6

5,4

11,4

7,7

5,9

7,3

32,0

6,0



На основе полученных значений, приведенных в таблице 3, вычислены следующие параметры:

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения;

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения;

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения,


где ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения - среднее арифметическое;

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения, ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения - моменты второго и четвертого порядков соответственно.

Следовательно кривизна совокупности ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения.

При уровне значимости ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=0,05, то есть ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения, и объеме выборки ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=50 критическое значение статистики (значение ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения-квантили) критерия равно 3,99 (см. таблицу 9). Вычисленное значение ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=4,916 более этого критического значения, поэтому нулевая гипотеза отклоняется в пользу альтернативной при уровне значимости ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=0,05. Это значит, что распределение значений, полученных в результате измерений, искажено и имеет большую кривизну.

Кроме того, критическое значение статистики при уровне значимости ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=0,01 равно 4,88, поэтому отклонение нулевой гипотезы подтверждено и на этом уровне. Можно сделать вывод, что существование реального искажения данных более правдоподобно.

7 Совместный критерий, использующий статистики эмпирической асимметрии и эмпирической кривизны (многонаправленный критерий)

     7 Совместный критерий, использующий статистики ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения и ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения (многонаправленный критерий)


Совместный критерий применим при ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения.

7.1 Альтернативная гипотеза состоит в следующем: распределение вероятностей имеет асимметрию, отличную от нуля, и (или) кривизна отлична от кривизны, свойственной нормальному распределению (без указания направления каждого отклонения). Альтернативная гипотеза имеет один из видов:

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения (ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения и (или) ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения).

Каждое из сочетаний ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения, ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения или ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения, ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения, или ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения, ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения может быть выбрано на равных основаниях. Тест многонаправленный и предназначен выявить сочетание ненулевой асимметрии ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения и (или) кривизны ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения.

Данный совместный критерий из-за выбора статистики нельзя считать многосторонним критерием в строгом смысле. Для направленных критериев его применение может быть оправдано только соображениями, основанными на природе наблюдений или процесса, генерирующего это наблюд

ение.

7.2 Статистика этого критерия образована парой значений статистик ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения и ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения, определенных в формулах (9) и (10) по 6.1.6. При нулевой гипотезе нормальности можно построить область вокруг точки (0; 3), в которую точка ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения попадает с вероятностью ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения (с осями координат ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения, ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения). Кривые, ограничивающие эту область, показаны на рисунке 9а) при ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=0,95 и рисунке 9b) при ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=0,99 для различных объемов выборки ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения.

При уровне значимости ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения критическая область критерия образована точками, лежащими вне кривой, соответствующей объему выборки ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения.

Пример 3

Совместный критерий, использующий статистики ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения и ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения, можно применить к данным примера 2.

На основе значений, приведенных в таблице 3, вычисляют выборочный центральный момент третьего порядка:

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения.


Отсюда ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения.

На рисунке 9b) точка ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения лежит далеко вне кривой, соответствующей объему выборки ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=50 для уровня значимости ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=0,01.

Поэтому нулевую гипотезу нормального распределения отклоняют на этом уровне значимости в пользу альтернативной гипотезы. Это означает, что распределение вероятностей измеренной характеристики отлично от нормального.

8 Многосторонние критерии

8.1 Общие положения

8.1.1 Многосторонние критерии применяют в том случае, если нет априорной информации о типе отклонения от нормального распределения.

8.1.2 В настоящем стандарте представлены два многосторонних критерия: Шапиро-Уилка и Эппса-Палли. Критерий Шапиро-Уилка выбирают, когда на основе исходных данных можно выбрать альтернативную гипотезу следующего вида: примерно симметричное распределение с убывающей кривизной (то есть ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения и ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения) или асимметричное распределение (например ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения), в противном случае выбирают критерий Эппса-Палли.

8.2 Критерий Шапиро-Уилка

Этот критерий применим при ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения. Малые выборки с ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения при обнаружении отклонений от нормального распределения не дают достоверных результатов.

Критерий основан на регрессионном анализе порядковых статистик по их ожидаемым значениям. Это критерий типа дисперсионного анализа для полной выборки. Статистика критерия - отношение квадрата суммы линейной разности выборочных порядковых статистик к обычной оценке дисперсии.

Критерий основан на упорядоченных наблюдениях. Если серию из ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения независимых наблюдений, расположенную в порядке неубывания, как указано в 5.3, обозначить символами ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения, то вычисляют промежуточную сумму ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения по формуле:

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения, (11)


где ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения - индекс, имеющий значения от 1 до ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения или от 1 до ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения при четном и нечетном ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения соответственно;

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения - коэффициент, имеющий специальные значения для объема выборки ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения (значения ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения приведены в таблице 10).

В этом случае статистика критерия ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения принимает вид:

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения, (12)


где ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения;

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения - объем выборки;

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения - выборочный центральный момент второго порядка.

Если значения некоторых наблюдений равны, упорядоченная серия нумеруется с повторением равных наблюдений столько раз, сколько они возникают в исходной серии.

При уровне значимости ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения критическая область критерия образована значениями, меньшими чем ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения-квантиль для ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения. Таблица 11 содержит ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения-квантили статистики критерия ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения для ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=0,01 и ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=0,05.

Пример 4

Пример применения критерия Шапиро-Уилка. Таблица 4 содержит упорядоченную серию из ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=44 независимых значений годовых осадков, собранных на метеостанции. Используя табличные значения, можно вычислить:

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения.


ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения.



Таблица 4 - Ежегодные осадки, зафиксированные на метеостанции

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

1

520

1074

554

0,387 2

2

556

1056

500

0,266 7

3

561

963

402

0,232 3

4

616

952

336

0,207 2

5

635

926

291

0,186 8

6

669

922

253

0,169 5

7

686

904

218

0,154 2

8

692

900

208

0,140 5

9

704

889

185

0,127 8

10

707

879

172

0,116 0

11

711

873

162

0,104 9

12

713

862

149

0,094 3

13

714

851

137

0,084 2

14

719

837

118

0,074 5

15

727

834

107

0,065 1

16

735

826

91

0,056 0

17

740

822

82

0,047 1

18

744

821

77

0,038 3

19

745

794

49

0,029 6

20

750

791

41

0,021 1

21

776

786

10

0,012 6

22

777

786

9

0,004 2

Примечание - Упорядоченная серия из 44 наблюдений и соответствующие им значения коэффициентов критерия Шапиро-Уилка ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения, где ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения - номер индекса, ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=1, 2, ..., 22.



Для облегчения вычислений в таблице приведены значения ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения, ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения и ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения.

Используя значения коэффициента ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения, взятые из таблицы 10 и воспроизведенные в таблице 4, можно вычислить значения ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения:

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения.

Следовательно ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения.

Таблица 11 дает значение ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения-квантиля для ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=44 и ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=0,05, равное 0,944. Поскольку это значение менее значения ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения, то нулевая гипотеза о нормальном распределении не отклоняется при уровне значимости ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=0,05.

8.3 Критерий Эппса-Палли

Этот критерий применим при ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения. Малые выборки с ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения<8 при обнаружении отклонений от нормального распределения не дают достоверных результатов.

Многосторонний критерий с высокой мощностью при многих альтернативных гипотезах использует сумму квадратов модулей разности между характеристическими функциями на основе выборочных данных и нормального распределения с весомыми коэффициентами.

По ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения наблюдениям ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения (ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=1, 2, ..., ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения) вычисляют следующие параметры:

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения (13)


и

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения, (14)


где ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения - среднее арифметическое;

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения - выборочный центральный момент второго порядка;

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения - объем выборки.

Статистику критерия ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения Эппса-Палли вычисляют по формуле

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения. (15)


Порядок значений произволен, но он должен оставаться неизменным в течение всех проводимых вычислений.

Алгоритм вычисления статистики критерия ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения Эппса-Палли представлен на рисунке 8.

Рисунок 8 - Алгоритм вычисления статистики критерия Эппса-Палли


ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения


Рисунок 8 - Алгоритм вычисления статистики критерия Эппса-Палли ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения



Нулевую гипотезу отклоняют, если вычисленное значение статистики ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения превышает ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения-квантиль при данных уровне значимости ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения и объеме выборки ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения. ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения-Квантили статистики критерия ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения при ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=0,90; 0,95; 0,975 и 0,99 приведены в таблице 12.

Пример 5

Пример применения критерия Эппса-Палли. Таблица 5 содержит серию из 25 значений ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения показателя прочности вискозной нити, измеренной при стандартных условиях в произвольных единицах. Дополнительно даны преобразованные значения ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения, которые рассеяны около прямой линии, нанесенной на бумаге для нормальных вероятностных графиков.


Таблица 5 - Значения показателя прочности вискозной нити

Измеренные значения ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

Преобразованные значения ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

147

1,756

186

1,255

141

1,799

183

1,322

190

1,146

123

1,908

155

1,690

164

1,602

183

1,322

150

1,732

134

1,845

170

1,531

144

1,778

99

2,021

156

1,681

176

1,447

160

1,643

174

1,477

153

1,708

162

1,623

167

1,568

179

1,398

78

2,100

173

1,491

168

1,556



На основе данных таблицы 5 вычислено значение статистики критерия ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=0,612 с использованием калькулятора. Используем таблицу 12 для поиска значения квантиля уровня ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=0,99 при ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=25. В таблице установлены следующие значения:

для ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=20 ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения-квантиль равен 0,564;

для ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=30 ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения-квантиль равен 0,569.

С помощью интерполяции значений, приведенных в таблице 12, можно оценить, что ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения-квантиль для ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=25 будет равен приблизительно 0,567. Вычисленное значение ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения превышает это критическое значение, поэтому нулевая гипотеза отклоняется при уровне значимости ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=0,01 для значений ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения.

На основе данных таблицы 5 найдено ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=0,006. Поскольку это значение менее критического значения для ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=25, то нулевая гипотеза для преобразованных значений ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения не отклоняется.

Этот пример подтверждает известный факт, что значения показателя прочности вискозной нити подчиняются логарифмически нормальному закону распределения.

Пример 6

Пример детально описывает процедуру вычисления статистики критерия ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения в соответствии с формулой (15).

Второй столбец таблицы 6 содержит ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=10 значениям ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения, для которых должен быть проведен критерий Эппса-Палли. Согласно выражениям (13) и (14), получаем ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=10,4 и ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=11,858.


Таблица 6 - Значения показателя прочности вискозной нити - вычисление статистики критерия ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=2

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=3

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=4

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=5

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=6

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=7

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=8

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=9

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=10

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=1, ..., 10

1

4,9

0,9996

0,8977

0,2192

0,2083

0,1684

0,0769

0,0587

0,0304

0,0205

0,5285

2

5,0

-

0,9095

0,2304

0,2192

0,1778

0,0821

0,0629

0,0329

0,0222

0,5407

3

6,5

-

-

0,4421

0,4258

0,3633

0,1977

0,1593

0,0933

0,0673

0,7257

4

10,9

-

-

-

0,9996

0,9895

0,8723

0,8154

0,6668

0,5790

0,9947

5

11,0

-

-

-

-

0,9933

0,8853

0,8303

0,6842

0,5966

0,9924

6

11,4

-

-

-

-

-

0,9312

0,8853

0,7520

0,6668

0,9791

7

12,7

-

-

-

-

-

-

0,9933

0,9312

0,8723

0,8945

8

13,1

-

-

-

-

-

-

-

0,9664

0,9207

0,8575

9

14,0

-

-

-

-

-

-

-

-

0,9895

0,7609

10

14,5

-

-

-

-

-

-

-

-

-

0,7016

Сум-
ма

104,0

0,9996

1,8072

0,8916

1,8528

2,6923

3,0455

3,8052

4,1573

4,7350

7,9757

Общая сумма 23,9865



Двойная сумма в третьем члене выражения (15) является конечной серией (ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения) подсерий, первая из которых имеет один член, а последняя (ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения) член.

Для первой подсерии установлен индекс ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=2 и единственный член суммы, равный

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения, получен при ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=1. Во второй подсерии установлен индекс ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=3 и сумма имеет два члена, равные:

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения и ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения,

которые получены при ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=1 и ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=2. Для последней подсерии фиксирован индекс ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=10, и сумма имеет 9 членов, равные:

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения,

которые получены при ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=1, 2, 3, ..., 9.

Значения членов для ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения-1=9 подсерий перечислены в столбцах 3-11 таблицы 6.

12-й столбец показывает ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=10 членам суммы в четвертом члене выражения (15).

Для каждого из последних 10 столбцов таблицы 6 вычислены их суммы и указаны внизу столбца.

Все 45 членов, принадлежащих сумме в третьем члене выражения (15), после суммирования дали общую сумму ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения.

Окончательно выражение (15) подсчитано и равно

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения.


При ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=10 таблица 12 содержит значение ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения-квантиля для ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=0,95, равное 0,357. Вычисленное значение ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=0,2914 не превышает это критическое значение, поэтому в этом примере нулевая гипотеза не отклоняется при уровне значимости ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=0,05.

9 Совместный критерий, использующий несколько независимых выборок


Критерий применим при нескольких выборках одинакового объема с ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения, однако из практических соображений таблица 13 ограничена значениями коэффициентов для ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения. Она основана на предположении, что независимые выборки взяты из одной совокупности.

Во многих случаях необходимо проверить отклонение от нормального распределения, используя несколько независимых выборок, поскольку каждая отдельная выборка слишком мала, чтобы обнаружить даже значительное отклонение от нормального распределения. В такой ситуации применяют модифицированный критерий Шапиро-Уилка.

Для ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения последовательных выборок объемом ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения каждая, отобранных из одной совокупности, подсчитывают значения ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения (ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=1, 2, ..., ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения) согласно выражению (12). Для совместного критерия вычисляют промежуточные значения статистики ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения совместного критерия по формуле

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения, (16)


где ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения - вспомогательная величина совместного критерия, рассчитываемая по формуле

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения; (17)


ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения, ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения и ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения - коэффициенты для преобразования ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения в ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения, приведенные в таблице 13.

В случае, если основное распределение вероятностей нормальное, переменные ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения приблизительно следуют стандартному нормальному распределению. Среднее арифметическое значение переменной ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения равно

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения, (18)


и статистикой критерия является выражение ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения, где ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения - число последовательных выборок.

Нулевая гипотеза отклоняется при уровне значимости ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения, если

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения, (19)


где ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения - ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения-квантиль стандартного нормального закона распределения.

Пример 7

Пример применения совместного критерия, использующего несколько независимых выборок. Имеются 22 случайные выборки (ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=22), каждая объемом ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=20, отобранные из одной совокупности. Измеряют значение случайной переменной ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения этих 20 объектов, которая в предположении имеет распределение, отличное от нормального. Для каждой выборки вычисляют соответствующие значения ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения (ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=1, 2, ..., 22) согласно выражению (12). 22 значения ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения приведены в таблице 7. Из таблицы 13 взяты следующие коэффициенты:

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения; ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения; ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения.

Используя эти значения коэффициентов, вычисляют соответствующие 22 значения ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения согласно выражениям (16) и (17); значения ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения и ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения приведены в таблице 7.


Таблица 7 - Значения ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения и ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения для 22 выборок объемом ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=20, взятых из одной совокупности

Номер выборки

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

1

0,9543

-0,189

2

0,9645

+0,292

3

0,9148

-1,413

4

0,8864

-2,008

5

0,9573

-0,059

6

0,9158

-1,389

7

0,9462

-0,503

8

0,9277

-1,083

9

0,9639

+0,260

10

0,9363

-0,833

11

0,9067

-1,598

12

0,9218

-1,240

13

0,9551

-0,155

14

0,9338

-0,909

15

0,9584

-0,009

16

0,9088

-1,552

17

0,9028

-1,683

18

0,8947

-1,849

19

0,9488

-0,407

20

0,9445

-0,563

21

0,9471

-0,470

22

0,9451

-0,542

Сумма

-17,902



По таблице 11, находят значение статистики (значение ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения-квантили) ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения, равное 0,868 для ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=20 при уровне значимости ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=0,01.

Из таблицы 14 значение ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения-квантили для ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения равно

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

при уровне значимости ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=0,01.

По результатам обработки каждой из этих 22 выборок нельзя выявить отклонение от нормального распределения при данном уровне значимости ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=0,01, поскольку ни одно из значений ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения не менее критического значения 0,868 и ни одно из значений ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения не менее критического значения минус 2,326.

Совместное оценивание всех 22 выборок дает ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения и ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения.

Значение ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения сравнивается со значением ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения при уровне значимости ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=0,01. Поскольку вычисленное значение минус 3,82 лежит значительно ниже найденного в таблице 14 значения, то нулевую гипотезу отклоняют при уровне значимости ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=0,01.

10 Статистические таблицы



Таблица 8 - Критерий проверки на асимметрию; значения ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения-квантили для статистики ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения при ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=0,95 и 0,99

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

0,95

0,99

8

0,99

1,42

9

0,97

1,41

10

0,95

1,39

12

0,91

1,34

15

0,85

1,26

20

0,77

1,15

25

0,71

1,06

30

0,66

0,98

35

0,62

0,92

40

0,59

0,87

45

0,56

0,82

50

0,53

0,79

60

0,49

0,72

70

0,46

0,67

80

0,43

0,63

90

0,41

0,60

100

0,39

0,57

125

0,35

0,51

150

0,32

0,46

175

0,30

0,43

200

0,28

0,40

250

0,25

0,36

300

0,23

0,33

350

0,21

0,30

400

0,20

0,28

450

0,19

0,27

500

0,18

0,26

550

0,17

0,24

600

0,16

0,23

650

0,16

0,22

700

0,15

0,22

750

0,15

0,21

800

0,14

0,20

850

0,14

0,20

900

0,13

0,19

950

0,13

0,18

1000

0,13

0,18

1200

0,12

0,16

1400

0,11

0,15

1600

0,10

0,14

1800

0,10

0,13

2000

0,09

0,13

2500

0,08

0,11

3000

0,07

0,10

3500

0,07

0,10

4000

0,06

0,09

4500

0,06

0,08

5000

0,06

0,08



Таблица 9 - Критерий проверки на кривизну; значения ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения-квантили для статистики ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения при ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=0,01 и 0,05 и ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=0,95 и 0,99

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

0,01

0,05

0,95

0,99

8

1,31

1,46

3,70

4,53

9

1,35

1,53

3,86

4,82

10

1,39

1,56

3,95

5,00

12

1,46

1,64

4,05

5,20

15

1,55

1,72

4,13

5,30

20

1,65

1,82

4,17

5,36

25

1,72

1,91

4,16

5,30

30

1,79

1,98

4,11

5,21

35

1,84

2,03

4,10

5,13

40

1,89

2,07

4,05

5,04

45

1,93

2,11

4,00

4,94

50

1,95

2,15

3,99

4,88

75

2,08

2,27

3,87

4,59

100

2,18

2,35

3,77

4,39

125

2,24

2,40

3,71

4,24

150

2,29

2,45

3,65

4,13

200

2,37

2,51

3,57

3,98

250

2,42

2,55

3,52

3,87

300

2,46

2,59

3,47

3,79

350

2,50

2,62

3,44

3,72

400

2,52

2,64

3,41

3,67

450

2,55

2,66

3,39

3,63

500

2,57

2,67

3,37

3,60

550

2,58

2,69

3,35

3,57

600

2,60

2,70

3,34

3,54

650

2,61

2,71

3,33

3,52

700

2,62

2,72

3,31

3,50

750

2,64

2,73

3,30

3,48

800

2,65

2,74

3,29

3,46

850

2,66

2,74

3,28

3,45

900

2,66

2,75

3,28

3,43

950

2,67

2,76

3,27

3,42

1000

2,68

2,76

3,26

3,41

1200

2,71

2,78

3,24

3,37

1400

2,72

2,80

3,22

3,34

1600

2,74

2,81

3,21

3,32

1800

2,76

2,82

3,20

3,30

2000

2,77

2,83

3,18

3,28

2500

2,79

2,85

3,16

3,25

3000

2,81

2,86

3,15

3,22

3500

2,82

2,87

3,14

3,21

4000

2,83

2,88

3,13

3,19

4500

2,84

2,88

3,12

3,18

5000

2,85

2,89

3,12

3,17

Рисунок 9 - Совместный критерий, использующий статистики эмпирической асимметрии и эмпирической кривизны.


Лист 1 - Кривые, выделяющие критическую область на уровне значимости 0,05

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения


а) Кривые, выделяющие критическую область на уровне значимости ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=0,05

Рисунок 9 - Совместный критерий, использующий статистики ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения и ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения
(многонаправленный критерий), лист 1

Лист 2 - Кривые, выделяющие критическую область на уровне значимости 0,01


ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения


b) Кривые, выделяющие критическую область на уровне значимости ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=0,01

Рисунок 9. Лист 2

Таблица 10 - Значения коэффициента критерия Шапиро-Уилка для вычисления статистики критерия ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

8

9

10

1

-

-

-

-

-

-

0,605 2

0,588 8

0,573 9

2

-

-

-

-

-

-

-

0,316 4

0,324 4

0,329 1

3

-

-

-

-

-

-

-

0,174 3

0,197 6

0,214 1

4

-

-

-

-

-

-

-

0,056 1

0,094 7

0,122 4

5

-

-

-

-

-

-

-

-

-

0,039 9

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

1

0,560 1

0,547 5

0,535 9

0,525 1

0,515 0

0,505 6

0,496 8

0,488 6

0,480 8

0,473 4

2

0,331 5

0,332 5

0,332 5

0,331 8

0,330 6

0,329 0

0,327 3

0,325 3

0,323 2

0,321 1

3

0,226 0

0,234 7

0,241 2

0,246 0

0,249 5

0,252 1

0,254 0

0,255 3

0,256 1

0,256 5

4

0,142 9

0,158 6

0,170 7

0,180 2

0,187 8

0,193 9

0,198 8

0,202 7

0,205 9

0,208 5

5

0,069 5

0,092 2

0,109 9

0,124 0

0,135 3

0,144 7

0,152 4

0,158 7

0,164 1

0,168 6

6

-

0,030 3

0,053 9

0,072 7

0,098 0

0,100 5

0,110 9

0,119 7

0,127 1

0,133 4

7

-

-

-

0,024 0

0,043 3

0,059 3

0,072 5

0,073 7

0,093 2

0,101 3

8

-

-

-

-

-

0,019 6

0,035 9

0,049 6

0,061 2

0,071 1

9

-

-

-

-

-

-

-

0,016 3

0,030 3

0,042 2

10

-

-

-

-

-

-

-

-

-

0,014 0

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

1

0,464 3

0,459 0

0,454 2

0,449 3

0,445 0

0,440 7

0,436 6

0,432 8

0,429 1

0,425 4

2

0,318 5

0,315 6

0,312 6

0,309 8

0,306 9

0,304 3

0,301 8

0,299 2

0,296 8

0,294 4

3

0,257 8

0,257 1

0,256 3

0,255 4

0,254 3

0,253 3

0,252 2

0,251 0

0,249 9

0,248 7

4

0,211 9

0,213 1

0,213 9

0,214 5

0,214 8

0,215 1

0,215 2

0,215 1

0,215 0

0,214 8

5

0,173 6

0,176 4

0,178 7

0,180 7

0,182 2

0,183 6

0,184 8

0,185 7

0,186 4

0,187 0

6

0,139 9

0,144 3

0,148 0

0,151 2

0,153 9

0,156 3

0,158 4

0,160 1

0,161 6

0,163 0

7

0,109 2

0,115 0

0,120 1

0,124 5

0,128 3

0,131 6

0,134 6

0,137 2

0,139 5

0,141 5

8

0,080 4

0,087 8

0,094 1

0,099 7

0,104 6

0,108 9

0,112 8

0,116 2

0,119 2

0,121 9

9

0,053 0

0,061 8

0,069 6

0,076 4

0,082 3

0,087 6

0,092 3

0,096 5

0,100 2

0,103 6

10

0,026 3

0,036 8

0,045 9

0,053 9

0,061 0

0,067 2

0,072 8

0,077 8

0,082 2

0,086 2

11

-

0,012 2

0,022 8

0,032 1

0,040 3

0,047 6

0,054 0

0,059 8

0,065 0

0,069 7

12

-

-

-

0,010 7

0,020 0

0,028 4

0,035 8

0,042 4

0,048 3

0,053 7

13

-

-

-

-

-

0,009 4

0,017 8

0,025 3

0,032 0

0,038 1

14

-

-

-

-

-

-

-

0,008 4

0,015 9

0,022 7

15

-

-

-

-

-

-

-

-

-

0,007 6

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

1

0,422 0

0,418 8

0,415 6

0,412 7

0,409 8

0,406 8

0,404 0

0,401 5

0,398 9

0,396 4

2

0,292 1

0,289 8

0,278 6

0,285 4

0,283 4

0,281 3

0,279 4

0,277 4

0,275 5

0,273 7

3

0,247 5

0,246 3

0,245 1

0,243 9

0,242 7

0,241 5

0,240 3

0,239 1

0,238 0

0,236 8

4

0,215 5

0,214 1

0,213 7

0,213 2

0,212 7

0,212 1

0,211 6

0,211 0

0,210 4

0,209 8

5

0,187 4

0,187 8

0,188 0

0,188 2

0,188 3

0,188 3

0,188 3

0,188 1

0,188 0

0,187 8

6

0,164 1

0,165 1

0,166 0

0,166 7

0,167 3

0,167 8

0,168 3

0,168 6

0,168 9

0,169 1

7

0,143 3

0,144 9

0,146 3

0,147 5

0,148 7

0,149 6

0,150 5

0,151 3

0,152 0

0,152 6

8

0,124 3

0,126 5

0,128 4

0,130 1

0,131 7

0,133 1

0,134 4

0,135 6

0,136 6

0,137 6

9

0,106 6

0,109 3

0,111 8

0,114 0

0,116 0

0,117 9

0,119 6

0,121 1

0,122 5

0,123 7

10

0,089 9

0,093 1

0,096 1

0,098 8

0,101 3

0,103 6

0,105 6

0,107 5

0,109 2

0,110 8

11

0,073 9

0,077 7

0,081 2

0,084 4

0,087 3

0,090 0

0,092 4

0,094 7

0,096 7

0,098 6

12

0,058 5

0,062 9

0,066 9

0,070 6

0,073 9

0,077 0

0,079 8

0,082 4

0,084 8

0,087 0

13

0,043 5

0,048 5

0,053 0

0,057 2

0,061 0

0,064 5

0,067 7

0,070 6

0,073 3

0,075 9

14

0,028 9

0,034 4

0,039 5

0,044 1

0,048 4

0,052 3

0,055 9

0,059 2

0,062 2

0,065 1

15

0,014 4

0,020 6

0,026 2

0,031 4

0,036 1

0,040 4

0,044 4

0,048 1

0,051 5

0,054 6

16

-

0,006 8

0,013 1

0,018 7

0,023 9

0,028 7

0,033 1

0,037 2

0,040 9

0,044 4

17

-

-

-

0,006 2

0,011 9

0,017 2

0,022 0

0,026 4

0,030 5

0,034 3

18

-

-

-

-

-

0,005 7

0,011 0

0,015 8

0,020 3

0,024 4

19

-

-

-

-

-

-

-

0,005 3

0,010 1

0,014 6

20

-

-

-

-

-

-

-

-

-

0,004 9

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

1

0,394 0

0,391 7

0,389 4

0,387 2

0,385 0

0,383 0

0,380 8

0,378 9

0,377 0

0,365 1

2

0,271 9

0,270 1

0,268 4

0,266 7

0,265 1

0,263 5

0,262 0

0,260 4

0,258 9

0,257 4

3

0,235 7

0,234 5

0,233 4

0,232 3

0,231 3

0,230 2

0,229 1

0,228 1

0,227 1

0,226 0

4

0,209 1

0,208 5

0,207 8

0,207 2

0,206 5

0,205 8

0,205 2

0,204 5

0,203 8

0,203 2

5

0,187 6

0,187 4

0,187 1

0,186 8

0,186 8

0,186 2

0,186 9

0,185 5

0,185 1

0,184 7

6

0,169 3

0,169 4

0,169 5

0,169 5

0,169 5

0,169 5

0,169 5

0,169 3

0,169 2

0,169 1

7

0,153 1

0,153 5

0,153 9

0,154 2

0,154 5

0,154 8

0,155 0

0,155 1

0,155 3

0,155 4

8

0,138 4

0,139 2

0,139 8

0,140 5

0,141 0

0,141 5

0,142 0

0,142 3

0,142 7

0,143 0

9

0,124 9

0,125 9

0,126 9

0,127 8

0,128 6

0,129 3

0,130 0

0,130 6

0,131 2

0,131 7

10

0,112 3

0,113 6

0,114 9

0,116 0

0,117 0

0,118 0

0,118 9

0,119 7

0,120 5

0,121 2

11

0,100 4

0,102 0

0,103 5

0,104 9

0,106 2

0,107 3

0,108 5

0,109 5

0,110 5

0,111 3

12

0,089 1

0,090 9

0,092 7

0,094 3

0,095 9

0,097 2

0,098 6

0,099 8

0,101 0

0,102 0

13

0,078 2

0,080 4

0,082 4

0,084 2

0,086 0

0,087 6

0,089 2

0,090 6

0,091 9

0,093 2

14

0,067 7

0,070 1

0,072 4

0,074 5

0,076 5

0,078 3

0,080 1

0,081 7

0,083 2

0,084 6

15

0,057 5

0,060 2

0,062 8

0,065 1

0,067 3

0,069 4

0,071 3

0,073 1

0,074 8

0,076 4

16

0,047 6

0,050 6

0,053 4

0,056 0

0,058 4

0,060 7

0,062 8

0,064 8

0,066 7

0,068 5

17

0,037 9

0,041 1

0,044 2

0,047 1

0,049 7

0,052 2

0,054 6

0,056 8

0,058 8

0,060 8

18

0,028 3

0,031 8

0,035 2

0,038 3

0,041 2

0,043 9

0,046 5

0,048 9

0,051 1

0,053 2

19

0,018 8

0,022 7

0,026 3

0,029 6

0,032 8

0,035 7

0,038 5

0,041 1

0,043 6

0,045 9

20

0,009 4

0,013 6

0,017 5

0,021 1

0,024 5

0,027 7

0,030 7

0,033 5

0,036 1

0,038 6

21

-

0,004 5

0,008 7

0,012 6

0,016 3

0,019 7

0,022 9

0,022 9

0,028 8

0,031 4

22

-

-

-

0,004 2

0,008 1

0,011 8

0,015 3

0,018 5

0,021 5

0,024 4

23

-

-

-

-

-

0,003 9

0,007 6

0,011 1

0,014 3

0,017 4

24

-

-

-

-

-

-

-

0,003 7

0,007 1

0,010 4

25

-

-

-

-

-

-

-

-

-

0,003 5



Таблица 11 - Критерий Шапиро-Уилка; ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения-квантили статистики критерия ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения для ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=0,01 и 0,05

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

0,01

0,05

8

0,749

0,818

9

0,764

0,829

10

0,781

0,842

11

0,792

0,850

12

0,805

0,859

13

0,814

0,866

14

0,825

0,874

15

0,835

0,881

16

0,844

0,887

17

0,851

0,892

18

0,858

0,897

19

0,863

0,901

20

0,868

0,905

21

0,873

0,908

22

0,878

0,911

23

0,881

0,914

24

0,884

0,916

25

0,888

0,918

26

0,891

0,920

27

0,894

0,923

28

0,896

0,924

29

0,898

0,926

30

0,900

0,927

31

0,902

0,929

32

0,904

0,930

33

0,906

0,931

34

0,908

0,933

35

0,910

0,934

36

0,912

0,935

37

0,914

0,936

38

0,916

0,938

39

0,917

0,939

40

0,919

0,940

41

0,920

0,941

42

0,922

0,942

43

0,923

0,943

44

0,924

0,944

45

0,926

0,945

46

0,927

0,945

47

0,928

0,946

48

0,929

0,947

49

0,929

0,947

50

0,930

0,947



Таблица 12 - Критерий Эппса-Палли: ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения-квантили статистики критерия ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения для ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения=0,90; 0,95; 0,975 и 0,99

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

0,90

0,95

0,975

0,99

8

0,271

0,347

0,426

0,526

9

0,275

0,350

0,428

0,537

10

0,279

0,357

0,437

0,545

15

0,284

0,366

0,447

0,560

20

0,287

0,368

0,450

0,564

30

0,289

0,371

0,459

0,569

50

0,290

0,374

0,460

0,574

100

0,291

0,376

0,464

0,583

200

0,290

0,379

0,467

0,590



Таблица 13 - Совместный критерий, использующий несколько независимых выборок: коэффициенты совместного критерия для преобразования ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения в стандартизованную нормальную переменную для объема выборки ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

8

-2,696

1,333

0,4186

9

-2,968

1,400

0,3900

10

-3,262

1,471

0,3660

11

-3,485

1,515

0,3451

12

-3,731

1,571

0,3270

13

-3,936

1,613

0,3111

14

-4,155

1,655

0,2969

15

-4,373

1,695

0,2842

16

-4,567

1,724

0,2727

17

-4,713

1,739

0,2622

18

-4,885

1,770

0,2528

19

-5,018

1,786

0,2440

20

-5,153

1,802

0,2359

21

-5,291

1,818

0,2264

22

-5,413

1,835

0,2207

23

-5,508

1,848

0,2157

24

-5,605

1,862

0,2106

25

-5,704

1,876

0,2063

26

-5,803

1,890

0,2020

27

-5,905

1,905

0,1980

28

-5,988

1,919

0,1943

29

-6,074

1,934

0,1907

30

-6,150

1,949

0,1872

31

-6,248

1,965

0,1840

32

-6,324

1,976

0,1811

33

-6,402

1,988

0,1781

34

-6,480

2,000

0,1755

35

-6,559

2,012

0,1727

36

-6,640

2,024

0,1702

37

-6,721

2,037

0,1677

38

-6,803

2,049

0,1656

39

-6,887

2,062

0,1633

40

-6,961

2,075

0,1612

41

-7,035

2,088

0,1591

42

-7,111

2,101

0,1572

43

-7,188

2,114

0,1552

44

-7,266

2,128

0,1534

45

-7,345

2,141

0,1516

46

-7,414

2,155

0,1499

47

-7,484

2,169

0,1482

48

-7,555

2,183

0,1466

49

-7,615

2,198

0,1451

50

-7,677

2,212

0,1436



Таблица 14 - Значения ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения-квантилей стандартного нормального закона распределения вероятностей ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения, %

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

90,0

0,10

1,282

95,0

0,05

1,645

97,5

0,025

1,960

99,0

0,01

2,326

99,5

0,005

2,576

ПРИЛОЖЕНИЕ А (справочное). Бланк бумаги для нормальных вероятностных графиков



ПРИЛОЖЕНИЕ А
(справочное)

ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения




Текст документа сверен по:
официальное издание
М.: ИПК Издательство стандартов, 2002

ГОСТ Р ИСО 5479-2002. Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

Название документа: ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения

Номер документа: ИСО 5479-2002

Вид документа: ГОСТ Р

Принявший орган: Госстандарт России

Статус: Действующий

Опубликован: официальное издание

М.: ИПК Издательство стандартов, 2002 год

Дата принятия: 22 января 2002

Дата начала действия: 01 июля 2002
ГОСТ Р ИСО 5479-2002 Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения
Данный документ представлен в виде сканер копии, которую вы можете скачать в формате или
Информация о данном документе содержится в профессиональных справочных системах «Кодекс» и «Техэксперт»
Узнать больше о системах