ОДМ 218.3.1.005-2021 Проектирование нежестких дорожных одежд. Методические рекомендации по расчету параметров напряженно-деформированного состояния многослойных конструкций при воздействии колесных нагрузок

     6.1.1 Математическая постановка задачи

Расчетной схемой является упругое двухслойное полупространство, нагруженное на внешней поверхности нормальной осесимметричной нагрузкой. Вводится цилиндрическая система координат , , (рисунок 1), в которой ось направлена вниз и имеет начало отсчета в центре штампа, представляющего нагрузку. Угол отсчитывается от полуоси в плоскости 0. Первый слой толщиной ограничен плоскостями 0; . Второй слой ограничен сверху плоскостью и простирается вниз до бесконечности. Каждый из двух слоев характеризуется модулем упругости и коэффициентом Пуассона , 1, 2. Нагрузка, действующая на верхний слой, равномерно распределена с интенсивностью по площади круга радиуса с центром в начале координат. Из соображений симметрии следует, что все рассматриваемые ниже компоненты напряженного состояния упругой среды зависят (помимо параметров задачи , , , , , , ) только от двух координат: и .

- диаметр отпечатка колеса

Рисунок 1 - Расчетная схема двухслойного полупространства

Рассматриваемая задача сводится к отысканию в каждом слое решений , 1, 2 бигармонического уравнения в цилиндрических координатах

,                                                              (1)

где - символ, аналогичный оператору Лапласа в прямоугольных координатах.

Решения связаны с нормальными напряжениями: вертикальным , радиальным , тангенциальным , касательным напряжением , горизонтальными и вертикальными смещениями ; следующими соотношениями:

;                                                       (2)

;                                                          (3)

;                                                      (4)

;                                                   (5)

;                                                             (6)

,                                              (7)

.

Вместе с уравнением (1) на поверхности 0 предполагаются выполненными граничные условия

                                                         (8)