ГОСТ Р ИСО 11843-7-2020 Статистические методы. Способность обнаружения. Часть 7. Методы оценки с учетом фонового шума

     5 Теория прецизионности

5.1 Теория, основанная на функции автоковариации

Теория, предложенная Вайнефорднером (см. [2], [3], [4]), основана на функции автоковариации

,                                                             (5)

где - математическое ожидание случайной переменной, указанной в квадратных скобках, в точке .

Рисунок 1 - Сигнал (верхняя линия) и шум (нижняя линия)

В верхней части рисунка 1 изображен сигнал в виде прямоугольного импульса. Шум (являющийся фоном), накладывающийся на сигнал, изображен в нижней части рисунка. - значение времени при отсутствии сигнала, а - значение времени при наличии сигнала. Измерение (чтение сигнала) представляет собой разность интенсивностей в моменты времени и . В отсутствие фонового шума значение сигнала в точке равно нулю. При проведении измерений в точке сигнал имеет конечное значение. В настоящем стандарте приведены модели измерений, в которых сигнал и шум накладываются друг на друга, этот общий случайный процесс принимает значение в момент времени . Интенсивности сигнала в точках и обозначают и соответственно, а разность интенсивностей соответствует (6).

Разность значений функции автоковариации в точках 0 и формирует правую часть формулы (7). Минимальное обнаруживаемое значение связано с фоновым шумом, разность интенсивностей сигнала часто применяют в аналитической оптической спектрометрии. Определение разности интенсивностей сигнала, например чтение сигнала с поправкой на фоновый шум (см. в [2], [3], [4]).

.                                                              (6)

Здесь соответствует переменной отклика . Дисперсия разности интенсивностей сигнала имеет вид (7) (см. также [2], [3], [4]). Обоснование формулы (7) приведено в приложении B.

.                                                       (7)

Формула (7) имеет практическое применение (см. рисунок 2), когда фактические функции автоковариации и известны из наблюдений за фоновым шумом. Подставляя значение из формулы (7) в формулу (2) (), можно получить минимальное обнаруживаемое значение.

Рисунок 2 - Функция автоковариации шума

Можно использовать теорему Винера-Хинчина (см. [5]), связывающую функцию автоковариации со спектральной плотностью мощности (спектром мощности) через преобразование Фурье

,                                            (8)

где - спектр мощности наблюдаемого фонового шума;

- частотная характеристика (линейной) системы считывания данных.