Статус документа

Р 50.1.086-2013 Статистические методы. Примеры применения. Часть 6. Анализ выборочных оценок среднего и стандартного отклонения

6 Изменчивость стандартных отклонений

Квадрат стандартного отклонения является дисперсией, т.е. - выборочная дисперсия, - дисперсия совокупности. Математическое ожидание выборочных дисперсий для выборки объема равно дисперсии совокупности, т.е.

. (3)

Однако математическое ожидание выборочного стандартного отклонения для объема выборки меньше , т.е. является смещенной оценкой . В данном случае смещение отрицательно. Смещение зависит от объема выборки и уменьшается с увеличением объема выборки.

Таблица 1 - Коэффициенты, используемые при вычислении границ доверительных интервалов для среднего и стандартного отклонения совокупности


Объем выборки	Среднее				Стандартное отклонение
	,				,
	Уровень ошибки				Уровень ошибки
	10%	5%	2%	1%	10%		5%		2%		1%

5	0,954	1,242	1,676	2,060	0,649	2,373	0,599	2,874	0,548	3,670	0,518	4,396
6	0,823	1,050	1,374	1,647	0,672	2,090	0,624	2,453	0,575	3,004	0,546	3,485
7	0,735	0,925	1,188	1,402	0,690	1,916	0,644	2,203	0,597	2,623	0,568	2,980
8	0,670	0,837	1,060	1,238	0,705	1,798	0,661	2,036	0,615	2,377	0,587	2,661
9	0,620	0,769	0,966	1,119	0,718	1,712	0,675	1,916	0,631	2,205	0,603	2,440
10	0,580	0,716	0,893	1,028	0,729	1,646	0,687	1,826	0,644	2,077	0,617	2,278
11	0,547	0,672	0,834	0,956	0,739	1,594	0,698	1,755	0,656	1,978	0,630	2,154
12	0,519	0,636	0,785	0,897	0,747	1,551	0,708	1,698	0,667	1,899	0,641	2,056
13	0,495	0,605	0,744	0,848	0,755	1,516	0,717	1,651	0,676	1,834	0,651	1,976
14	0,474	0,578	0,709	0,806	0,762	1,486	0,724	1,612	0,685	1,780	0,660	1,910
15	0,455	0,554	0,678	0,769	0,768	1,460	0,732	1,578	0,693	1,734	0,668	1,854
16	0,439	0,533	0,651	0,737	0,774	1,438	0,738	1,548	0,700	1,694	0,676	1,806
17	0,424	0,515	0,627	0,709	0,780	1,418	0,744	1,522	0,707	1,660	0,683	1,764
18	0,411	0,498	0,606	0,684	0,785	1,401	0,750	1,500	0,713	1,629	0,689	1,728
19	0,398	0,482	0,586	0,661	0,789	1,385	0,755	1,479	0,719	1,602	0,696	1,696
20	0,387	0,469	0,568	0,640	0,793	1,371	0,760	1,461	0,724	1,578	0,701	1,667
21	0,377	0,456	0,552	0,621	0,797	1,358	0,765	1,445	0,729	1,557	0,707	1,641
22	0,367	0,444	0,537	0,604	0,801	1,346	0,769	1,430	0,734	1,537	0,712	1,617
23	0,359	0,433	0,524	0,588	0,805	1,336	0,773	1,416	0,738	1,519	0,716	1,596
24	0,350	0,423	0,511	0,574	0,808	1,326	0,777	1,403	0,743	1,502	0,721	1,576
25	0,343	0,413	0,499	0,560	0,811	1,317	0,780	1,392	0,747	1,487	0,725	1,559
26	0,335	0,404	0,488	0,547	0,814	1,309	0,784	1,381	0,751	1,473	0,729	1,542
27	0,329	0,396	0,478	0,535	0,817	1,301	0,787	1,371	0,754	1,460	0,733	1,527
28	0,322	0,388	0,468	0,524	0,820	1,293	0,790	1,362	0,758	1,448	0,737	1,513
29	0,316	0,381	0,459	0,514	0,823	1,287	0,793	1,353	0,761	1,437	0,741	1,499
30	0,311	0,374	0,450	0,504	0,825	1,280	0,796	1,345	0,764	1,427	0,744	1,487

Математическое ожидание выборочного стандартного отклонения по выборке объема имеет вид:

, (4)

где - коэффициент, учитывающий смещение и зависящий от .

Примечание - Соотношение (4) справедливо только в случае, когда наблюдения подчиняются нормальному распределению.

Значения для объемов выборки от 2 до 30 приведены в таблице 2. Значение приблизительно равно .

Таблица 2 - Значения коэффициентов, позволяющих учесть смещение выборочных стандартных отклонений


Объем выборки,

2	0,7979	1,2533
3	0,8862	1,1284
4	0,9213	1,0854
5	0,9400	1,0638
6	0,9515	1,0509
7	0,9594	1,0424
8	0,9650	1,0362
9	0,9693	1,0317
10	0,9727	1,0281
11	0,9754	1,0253
12	0,9776	1,0230
13	0,9794	1,0210
14	0,9810	1,0194
15	0,9823	1,0180
16	0,9835	1,0168
17	0,9845	1,0157
18	0,9854	1,0148
19	0,9862	1,0140
20	0,9869	1,0132
21	0,9876	1,0126
22	0,9882	1,0120
23	0,9887	1,0114
24	0,9892	1,0109
25	0,9896	1,0105
26	0,9101	1,0100
27	0,9904	1,0097
28	0,9908	1,0093
29	0,9911	1,0090
30	0,9914	1,0087

Устранение смещения особенно важно в ситуациях, когда выборочное стандартное отклонение используют в качестве оценки стандартного отклонения совокупности. Для устранения смещения оценку стандартного отклонения определяют по формуле .

Относительно устранения смещения необходимо учитывать следующее.

а) При малом объеме выборки смещение является существенным.

б) Если мало, никакая единственная оценка не может быть удовлетворительной. Можно лишь получить нижнюю и верхнюю ( и ) границы доверительного интервала для (см. таблицу 1). Этот интервал характеризует неопределенность оценки по малому количеству наблюдений.

в) Устранение смещения в случае, когда оценивают по большому количеству малых выборок, позволяет получить объективную несмещенную оценку.

В соответствии с (2) существует приближение теоретического выражения для стандартной ошибки стандартного отклонения (т.е. стандартной ошибки выборочного стандартного отклонения)

. (5)

Применение этого приближения имеет несколько ограничений:

а) наблюдения должны подчиняться нормальному распределению или распределению, близкому к нормальному;