Статус документа
Статус документа

ГОСТ Р 54500.3.2-2013/Руководство ИСО/МЭК 98-3:2008/Дополнение 2:2011 Неопределенность измерения. Часть 3. Руководство по выражению неопределенности измерения. Дополнение 2. Обобщение на случай произвольного числа выходных величин

     7 Метод Монте-Карло

7.1 Общие положения

7.1.1 В настоящем разделе рассматривается применение метода Монте-Карло для трансформирования распределений (соответствующая процедура описана в 7.1.7 и представлена в виде диаграммы на рисунке 5).


Рисунок 5 - Этапы трансформирования распределений и получения результатов оценивания неопределенности методом Монте-Карло для случая явной зависимости выходных величин от входных величин

7.1.2 Метод Монте-Карло позволяет реализовать общий подход к получению дискретного приближенного представления функции распределения для [18, страница 75]. Суть подхода состоит в получении повторных выборок из плотности распределения для (или совместной плотности распределения для ) и вычислении для каждого выборочного значения векторной выходной величины.

7.1.3 Поскольку содержит максимально полную информацию о , любые характеристики , такие как математическое ожидание, дисперсия и ковариация, а также области охвата могут быть рассчитаны из полученного приближения . В общем случае достоверность получаемых характеристик возрастает с увеличением числа выборок.

7.1.4 Полученные в соответствии с 7.1.2 значения выходной величины рассматриваются как независимая выборка из совместного распределения вероятности для . Математические ожидания, дисперсии (и высшие моменты), а также ковариации могут быть рассчитаны непосредственно по этим выборочным значениям. Определение областей охвата требует предварительного анализа полученных значений (см. 7.7).

7.1.5 Пусть , =1, …, , обозначает выборочные значения выходной величины (см.7.1.4). Выборка позволяет получить приближенные значения математического ожидания и дисперсии величины . Как правило, в качестве моментов величины [включая и ] принимают соответствующие выборочные моменты. Обозначим число векторов в выборке , для которых каждый их элемент не превосходит соответствующий элемент некоторого вектора размерности . Тогда вероятность может быть приближенно представлена отношением . Таким образом, выборка векторов , ..., позволяет получить дискретное представление функции распределения .

7.1.6 Приближение является первым результатом применения метода Монте-Карло и представляет собой матрицу размерности

.

7.1.7 Процедура применения метода Монте-Карло для трансформирования распределений в случае явной зависимости через и заранее заданного числа испытаний (в противном случае см.7.8) показана в виде диаграммы на рисунке 5 и включает в себя следующие этапы:

a) выбирают число испытаний (см.7.2);

b) формируют в каждом из испытаний -мерный вектор входных величин , элементами которого являются случайные выборочные значения из распределений для или совместного распределения для (см.7.3);

c) рассчитывают для каждого выборочного значения вектора входной величины вектор выходной величины , получая таким образом выборку векторов выходной величины объемом (см.7.4);

d) формируют представление функции распределения в виде ряда значений векторной выходной величины (см.7.5);

e) на основе вычисляют оценку величины и ковариационную матрицу , соответствующую (см.7.6);

f) на основе строят соответствующую область охвата для для заданной вероятности охвата (см.7.7).

Примечание - Выборочное среднее для векторных выходных величин имеет математическое ожидание и дисперсию . Таким образом, расхождение между и его оценкой в среднем будет пропорционально .

7.1.8 Эффективность метода Монте-Карло при определении , и области охвата для зависит от адекватного выбора числа испытаний [этап а) в 7.1.7]. Рекомендации по выбору достаточного числа испытаний и по другим вопросам реализации метода Монте-Карло приведены в [8] (см. также 7.2 и 7.8).

7.2 Число испытаний метода Монте-Карло

7.2.1 Для применения метода Монте-Карло необходимо выбрать число испытаний , т.е. объем выборки векторной выходной величины. Это число может быть выбрано заблаговременно (до проведения испытаний), но тогда будет исключена возможность управления точностью результатов, полученных с помощью данного метода. Причиной этому служит то, что число испытаний, необходимое для получения результата вычисления с заданной точностью, зависит от формы плотности распределения выходной величины и от заданного значения вероятности охвата. Кроме того, метод вычисления является стохастическим по своей природе, поскольку зависит от случайной выборки.

7.2.2 Поскольку нельзя заранее гарантировать, что выбранное значение обеспечит достаточную точность приближения, можно использовать процедуру адаптивного выбора, уточняя значение в процессе испытаний. Адаптивная процедура, установленная в 7.8, позволяет оптимальным образом получить значение , соответствующее заданной точности вычислений.

Примечание - Для сложной модели, например, требующей получения решения методом конечных элементов, применение большого числа испытаний может оказаться невозможным. В этом случае рекомендуется приближенно представить плотность распределения выходной величины нормальным распределением (как в GUM). Это позволяет использовать относительно небольшое число испытаний , например 50 или 100, а полученные по результатам испытаний выборочное среднее и выборочные ковариации принять, соответственно, в качестве оценок и . Для описания и построения области охвата используют плотность нормального распределения . Хотя уменьшение числа испытаний неизбежно ухудшает свойства метода в части аппроксимации распределения выходной величины, оно все же позволяет учесть нелинейность модели измерения.

7.3 Получение выборок из распределений вероятности