ГОСТ Р 34.10-2012 Информационная технология (ИТ). Криптографическая защита информации. Процессы формирования и проверки электронной цифровой подписи
5.1 Математические определения
Эллиптической кривой , определенной над конечным простым полем
(где
3 - простое число), называется множество пар чисел (
,
),
,
, удовлетворяющих уравнению
, (1)
где ,
и 
не сравнимо с нулем по модулю .
Инвариантом эллиптической кривой называется величина , удовлетворяющая уравнению
. (2)
Пары , где
,
- элементы поля
, удовлетворяющие уравнению (1), называются "точками эллиптической кривой
";
и
- соответственно
- и
- координатами точки.
Точка эллиптической кривой обозначается 
или просто . Две точки эллиптической кривой равны, если равны их соответствующие
- и
-координаты.
На множестве точек эллиптической кривой операцию сложения обозначают знаком "+". Для двух произвольных точек
и 
эллиптической кривой рассматривают несколько случаев.
Для точек и
, координаты которых удовлетворяют условию
, их суммой называется точка 
, координаты которой определяются сравнениями
(3)
где 
.
Если выполнены равенства 
и 
, то координаты точки определяются следующим образом:
(4)
где 
.
Если выполнены условия 
и 
, то сумма точек и
называется нулевой точкой
без определения ее
- и
-координат. В этом случае точка
называется отрицанием точки
. Для нулевой точки
выполнены равенства
, (5)
где - произвольная точка эллиптической кривой
.
Относительно введенной операции сложения множество точек эллиптической кривой вместе с нулевой точкой образуют конечную абелеву (коммутативную) группу порядка
, для которого выполнено неравенство
. (6)
Точка называется "точкой кратности
" или просто "кратной точкой эллиптической кривой
", если для некоторой точки
выполнено равенство
. (7)