ГОСТ Р 54500.3.1-2011/Руководство ИСО/МЭК 98-3:2008/Дополнение 1:2008 Неопределенность измерения. Часть 3. Руководство по выражению неопределенности измерения. Дополнение 1. Трансформирование распределений с использованием метода Монте-Карло

Приложение D
(справочное)

     
Непрерывная аппроксимация функции распределения выходной величины

D.1 В некоторых случаях предпочтительнее работать не с дискретным представлением , а с непрерывной аппроксимацией функции распределения для выходной величины (см. 7.5).

Примечание - Преимущества работы с непрерывной аппроксимацией состоят, например, в том, что:

a) выборка из заданного распределения может быть выполнена без необходимости округления, как в случае дискретного представления;

b) для определения наименьшего интервала охвата могут быть использованы численные методы, требующие для своей работы непрерывность функции распределения.

D.2 Чтобы сформировать , используют дискретное представление для в соответствии с 7.5.1 после замены совпадающих значений модели для [как того требует этап b) в 7.5.1] в соответствии со следующей процедурой:

a) значениям приписывают равномерно отстоящие друг от друга значения вероятностей , 1, ..., [8], которые представляют собой средние точки интервалов шириной , покрывающих диапазон изменения вероятности от нуля до единицы;

b) формируют в виде непрерывной строго возрастающей кусочно-линейной функции, последовательно соединяющей точек , 1, ..., :

, , 1, …, .    (Д.1)*

_______________

     * Нумерация соответствует оригиналу. - Примечание изготовителя базы данных.     

Примечание - Формула (D.1) может быть использована как основа формирования выборки из для последующей оценки неопределенности (см. раздел С.2 в части формирования выборки на основе функции, обратной к функции распределения). Некоторые библиотеки и пакеты программ предоставляют средства такой кусочно-линейной интерполяции. Поскольку кусочно-линейна, то такой же вид имеет и обратная функция, что позволяет использовать для ее построения те же программные средства.

D.3 На рисунке D.1 показан график , построенный на основе 50 выборочных значений из нормального распределения для с плотностью распределения вероятностей , математическим ожиданием, равным трем, и стандартным отклонением, равным единице.

- выходная величина ; - вероятность

Рисунок D.1 - Аппроксимация функции распределения

D.4 На основе приближения , задаваемого формулой (D.1), может быть построено приближение для плотности распределения вероятностей выходной величины, представляющее собой кусочно-постоянную функцию с разрывами в точках . Математическое ожидание и стандартное отклонение величины , описываемой плотностью распределения вероятностей , рассматриваются соответственно как оценка и ее стандартная неопределенность и имеют вид:

,                                                (D.2)

     
,                  (D.3)

где двойной штрих справа от символа суммирования показывает, что первый и последний члены суммы необходимо брать с коэффициентом 1/2.

Примечание - Для достаточно больших значений (например, 10 или более) и , полученные с использованием формул (D.2) и (D.3), в общем случае с практической точки зрения неотличимы от оценок, полученных по формулам (16) и (17) соответственно.

D.5 Если - любое значение между нулем и , где - требуемая вероятность охвата (например, 0,95), то границы 100%-ного интервала охвата могут быть получены на основе с помощью обратной линейной интерполяции. Чтобы определить нижнюю границу такую, что , необходимо найти индекс , для которого точки и будут удовлетворять условию:

.

Тогда посредством обратной линейной интерполяции получаем:

.