ГОСТ Р 54500.3.1-2011/Руководство ИСО/МЭК 98-3:2008/Дополнение 1:2008 Неопределенность измерения. Часть 3. Руководство по выражению неопределенности измерения. Дополнение 1. Трансформирование распределений с использованием метода Монте-Карло

     7 Применение метода Монте-Карло

7.1 Общие положения

Данный раздел содержит сведения о применении метода Монте-Карло для трансформирования распределений (см. процедуру, описанную в 5.9.6 и графически изображенную на рисунке 4).

7.2 Число испытаний при применении метода Монте-Карло

7.2.1 Для применения метода Монте-Карло необходимо выбрать число испытаний , т.е. число наблюдений выходных значений модели. Это число может быть выбрано заблаговременно (до проведения испытаний), но тогда будет исключена возможность управления точностью результатов, полученных с помощью данного метода. Причиной этому служит то, что число испытаний, необходимое для получения результата вычисления с заданной точностью, зависит от формы плотности распределения вероятностей выходной величины и от заданного значения вероятности охвата. Кроме того, метод вычисления является стохастическим по своей природе, поскольку зависит от случайной выборки.

Примечание - Как правило, выбор 10 позволяет построить 95%-ный интервал охвата для выходной величины с точностью до одной или двух значащих цифр.

7.2.2 Рекомендуется выбирать значение достаточно большим (например, превышающим в 10 раз) по сравнению с . Тогда можно ожидать, что обеспечит приемлемое дискретное представление вблизи границ 100%-ного интервала охвата для .

7.2.3 Поскольку нельзя заранее гарантировать, что выбранное значение обеспечит достаточную точность приближения, можно использовать процедуру адаптивного выбора, уточняя значение в процессе испытаний. Некоторые рекомендации по адаптивной процедуре выбора приведены в [2]. Адаптивная процедура, установленная в 7.9, позволяет оптимальным образом получить значение , соответствующее заданной точности вычислений.

Примечание - Для сложной модели, например, требующей получения решения методом конечных элементов, применение большого числа испытаний может оказаться невозможным. В этом случае рекомендуется представить плотность распределения вероятностей выходной величины в виде гауссовского приближения (как в GUM). Это позволяет использовать относительно небольшое число испытаний , например 50 или 100, а полученные по результатам испытаний выборочное среднее и выборочное стандартное отклонение принять, соответственно, за оценки и . Для описания и построения интервала охвата используют плотность нормального распределения . Хотя уменьшение числа испытаний неизбежно ухудшает свойства метода в части аппроксимации распределения выходной величины, оно все же позволяет учесть нелинейность модели измерения.

7.3 Выборка из распределения вероятностей

Для применения метода Монте-Карло формируют векторов , 1, ..., (см. 7.2) в соответствии с плотностями распределения вероятностей для входных величин или, если это необходимо, из совместной (многомерной) плотности распределения . Рекомендации по формированию выборки для наиболее распространенных распределений (равномерного, нормального, многомерного нормального и -распределения) приведены в приложении С (см. также 6.4). Однако возможно получение выборок, соответствующих и другим распределениям (см. раздел С.2). Некоторые распределения могут быть аппроксимированы распределениями, полученными в результате применения метода Монте-Карло при предыдущих вычислениях неопределенности (см. 6.5, 7.5 и приложение D).

Примечание - Для достоверности результатов применения метода Монте-Карло необходимо, чтобы генераторы псевдослучайных чисел, используемые для формирования выборок из заданных распределений, обладали соответствующими свойствами. В С.3.2 приведены некоторые критерии проверки сформированных выборок на случайность.

7.4 Оценка выходной величины

7.4.1 Выходную величину определяют для каждой из выборок по значениям входных величин в каждой, полученных в соответствии с заданными плотностями распределения вероятностей. Если обозначить выборок через , …, , где -й вектор состоит из случайных значений ,..., , и каждое такое значение получено в соответствии с плотностью распределения вероятностей для входной величины , то выход модели можно представить в виде

, 1, ..., .

7.4.2 Если являются зависимыми величинами, то в 7.4.1 необходимо использовать совместную плотность распределения.

Примечание - При использовании закона трансформирования неопределенностей, когда аналитические выражения производных функции измерения по входным величинам известны точно, значения выходной величины и этих производных получают в точке наилучших оценок входных величин. Если аналитические выражения для производных неизвестны, и для их оценок используют приближение в виде конечных разностей, то получают значения только выходной величины. Согласно рекомендации GUM [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (примечание 2 к 5.1.3)] значения функции измерения берут в точках наилучших оценок входных величин, а также в точках, отстоящих по обе стороны от этих наилучших оценок на расстоянии одной стандартной неопределенности (варьируя по очереди для каждой входной величины). В методе же Монте-Карло значения выходной величины получают при варьировании входных величин в окрестности их наилучших оценок, так что в отдельной выборке значение входной величины может отстоять от ее наилучшей оценки на несколько стандартных отклонений. Тот факт, что в методе Монте-Карло значения функции измерений получают в разных точках, может породить вопрос о свойствах вычислительной процедуры, в частности, о ее устойчивости и (в случае применения адаптивной процедуры) сходимости. При возникновении сомнений пользователю следует убедиться в том, что метод дает достоверные оценки выходной величины для достаточно больших окрестностей наилучших оценок входных величин. Однако следует ожидать, что вопросы устойчивости и сходимости численного метода могут стать критическими только в исключительных случаях.

7.5 Дискретное представление функции распределения выходной величины

7.5.1 Дискретное представление функции распределения выходной величины может быть получено следующим образом:

a) значения выходной величины , 1, ..., , полученные в соответствии с методом Монте-Карло, располагают в неубывающем порядке, обозначая их , 1, ..., ;

b) если среди значений есть совпадающие, то в них вносят минимальные случайные возмущения, чтобы полученная в результате последовательность , 1, ..., была строго возрастающей [см. условие b) в 5.10.1];

c) полученная последовательность , 1, ..., , определяет .

Примечание 1 - Из возможных алгоритмов сортировки, применяемой на этапе а), рекомендуется выбирать такой, в котором число операций пропорционально [47]. В обычных алгоритмах сортировки число операций пропорционально , что необоснованно увеличивает время вычислений (см. 7.8).

Примечание 2 - В перечислении а) использован термин "неубывающий", а не "возрастающий" вследствие возможного равенства между собой некоторых значений выходной величины.

Примечание 3 - Внесение в совпадающие значения выходной величины только очень малых возмущений [см. перечисление b)] обеспечивает неизменность статистических свойств .

Примечание 4 - Необходимость внесения малых возмущений на этапе b) в действительности маловероятна из-за огромного множества различных чисел с плавающей запятой, появляющихся на выходе модели при подаче на ее вход данных с генератора случайных чисел. Тем не менее, возможность внесения малых возмущений должна быть предусмотрена применяемыми программными средствами.

Примечание 5 - Из построенного на этапе с) приближения можно извлечь разнообразную дополнительную информацию. Так, помимо оценок математического ожидания и стандартного отклонения, могут быть получены оценки коэффициентов асимметрии и эксцесса, а также другие статистики, например оценки моды или медианы.

Примечание 6 - Если выходная величина будет в дальнейшем рассматриваться как входная величина при оценивании неопределенности другого измерения, то выборку из ее распределения легко получить случайным (равновероятным) выбором значений из , 1, ..., (см. 6.5).