ГОСТ Р 54500.3.1-2011/Руководство ИСО/МЭК 98-3:2008/Дополнение 1:2008 Неопределенность измерения. Часть 3. Руководство по выражению неопределенности измерения. Дополнение 1. Трансформирование распределений с использованием метода Монте-Карло

     6 Плотности распределения вероятностей входных величин

6.1 Общие положения

6.1.1 Настоящий раздел содержит рекомендации по выбору в некоторых типичных ситуациях плотностей распределения вероятностей для входных величин на этапе формулировки задачи оценивания неопределенности. Выбор плотности распределения вероятностей может быть основан на теореме Байеса [20] или на принципе максимума энтропии [8, 26, 51, 56].

Примечание - В некоторых случаях выбор приписываемой плотности распределения вероятностей может быть основан на иных соображениях. Но всегда должны быть зафиксированы основания, положенные в основу этого выбора.

6.1.2 В общем случае входным величинам соответствует совместная плотность распределения вероятностей (см. 6.4.8.4, примечание 2).

6.1.3 Если независимы, то каждой величине может быть поставлена в соответствие плотность распределения вероятностей , вид которой выбирают, основываясь на анализе наблюдений (оценка неопределенности типа А) или научных суждениях с использованием (см. [50]) истории наблюдений, данных калибровки и экспертных оценок (оценка неопределенности типа В) [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (3.3.5)].

6.1.4 В случае, когда независимы только некоторые из , индивидуальные плотности распределения вероятностей приписывают только этим входным величинам, а для остальных применяют совместную плотность распределения.

Примечание - В ряде случаев от всех или некоторых зависимостей между входными величинами можно избавиться посредством их замены на другие переменные величины [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (F.1.2.4, Н.1.2)]. Такая замена может упростить как применение закона трансформирования неопределенностей, так и закона трансформирования распределений. Более подробно этот вопрос с иллюстрацией примерами рассмотрен в [15].

6.1.5 Значимая информация для выбора плотности распределения вероятностей для приведена в GUM [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (4.3)].

6.1.6 В настоящем стандарте не приводятся подробные рекомендации по выбору плотностей распределения вероятностей индивидуальных или совместных. Вид выбранной плотности распределения вероятностей в неявном виде включает в себя знания и практический опыт метролога, составляющего модель измерения, который в конечном счете несет ответственность за качество конечных результатов.

6.1.7 Справочным руководством по видам распределения вероятностей может служить [18].

6.2 Теорема Байеса

6.2.1 Если информация о некоторой входной величине содержится в серии наблюдений, рассматриваемых как реализации независимых одинаково распределенных случайных величин с заданной формой плотности распределения вероятностей, но с неизвестными математическим ожиданием и дисперсией, то приписываемая входной величине плотность распределения вероятностей может быть рассчитана по теореме Байеса. Расчет включает в себя два этапа. Сначала неизвестным математическому ожиданию и дисперсии приписывают неинформативное совместное распределение (априорное). Затем, используя теорему Байеса, совместную плотность распределения вероятностей уточняют на основе данных серии наблюдений, в результате чего получают совместную плотность распределения (апостериорную) для двух неизвестных параметров. После этого искомую апостериорную плотность распределения вероятностей неизвестного математического ожидания, которую рассматривают как плотность распределения, приписываемую , вычисляют интегрированием совместной плотности распределения по области возможных значений неизвестной дисперсии (см. 6.4.9.2).

6.2.2 В соответствии с теоремой Байеса для уточнения плотности распределения вероятностей используют произведение априорной плотности распределения вероятностей на функцию правдоподобия [20]. Функция правдоподобия в случае независимых наблюдений является произведением значений плотностей распределения вероятностей (например, гауссовых с неизвестным математическим ожиданием и дисперсией) для полученных наблюдений. Апостериорную плотность распределения вероятностей получают интегрированием произведения априорной плотности распределения вероятностей и функции правдоподобия по всем возможным значениям дисперсии с последующей нормировкой.

Примечание 1 - Иногда (например, как в 6.4.11) случайные величины, для которых получены наблюдения, описываются плотностью распределения с единственным параметром распределения. В таких случаях математическому ожиданию этого распределения приписывают неинформативную априорную плотность распределения вероятностей, а апостериорное распределение, понимаемое как распределение , формируют непосредственно в соответствии с теоремой Байеса без последующего интегрирования.

Примечание 2 - Теорема Байеса может быть также применена для разных предположений о виде распределения наблюдаемых случайных величин, например, когда их неизвестные математическое ожидание и стандартное отклонение полагают равными между собой.

6.3 Принцип максимума энтропии

6.3.1 При использовании принципа максимума энтропии, введенного Джейнсом [25], выбирают единственную плотность распределения вероятностей из всех возможных распределений с заданными свойствами, например заданными центральными моментами различного порядка или заданными интервалами, на которых плотность распределения вероятностей не равна нулю. Этот метод особенно полезен для выбора плотности распределения вероятностей величин, для которых данные наблюдений недоступны, или величин, которые невозможно измерить.

6.3.2 При применении принципа максимума энтропии в качестве плотности распределения вероятностей , которая адекватно характеризует неполноту знания о величине , выбирают такую, для которой функционал

,

представляющий собой энтропию по Шеннону [48], достигает максимума при ограничениях, определяемых имеющейся информацией об .

6.4 Выбор плотности распределения в некоторых типичных условиях
     

    6.4.1 Общие положения

Информация, приведенная в 6.4.2-6.4.11, позволяет выбрать плотности распределения вероятностей случайных величин на основе различной имеющейся информации об этих величинах. Вид плотности распределения вероятностей определяет:

a) формулы для математического ожидания и дисперсии ;

b) способ получения выборки из .

Сведения, приведенные в 6.4.2-6.4.11, и графическое представление распределений, к которым эти сведения относятся, собраны в таблице 1.

Таблица 1 - Информация о случайной величине и вид соответствующей плотности распределения вероятностей