Точный
Статус документа
Статус документа

ГОСТ Р 50779.21-2004 Статистические методы. Правила определения и методы расчета статистических характеристик по выборочным данным. Часть 1. Нормальное распределение

     6 Точечное и интервальное оценивание математического ожидания генеральной совокупности

6.1 Алгоритм точечного и интервального оценивания среднего значения при известной дисперсии приведен в таблице 6.1.


Таблица 6.1 - Оценка среднего значения при известной дисперсии

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

1 Объем выборки:

1 Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня :



2 Сумма значений наблюдаемых величин:

2 Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня :


3 Известное значение дисперсии:

3 Вычисляем:



4 Выбранная доверительная вероятность:

4 Вычисляем:



5 Вычисляем:




Результаты

1 Точечная оценка параметра :


2 Двусторонний симметричный доверительный интервал для :

.

3 Односторонние доверительные интервалы для :

или

.

     
     Примечание - Квантили стандартного нормального закона распределения определяют по таблице А.1 приложения А.



Примеры

1 Определение настроенности станка-автомата при механической обработке (например, токарного, шлифовального). Точность станка, определяемая разбросом получаемых размеров деталей без изменения настройки, считается известной, а центр настройки требуется определить. Возможны оценки в виде точечного значения или в виде интервала, который с известной степенью доверия (доверительной вероятностью) включает неизвестное значение . Интервал может быть:

- двусторонним, если необходима уверенность с заданной доверительной вероятностью, в каких пределах может лежать ;

- односторонним с верхней границей, если необходима уверенность, что не выше какого-то значения;

- односторонним с нижней границей, если необходима уверенность, что не ниже какого-то значения.

2 Оценка настройки автоматического оборудования для розлива жидкости в тару. Условие и возможные типы оценок - как в примере 1.

3 Многие другие технологические процессы с известной или оцененной заранее точностью (т.е. известным параметром  ), в которых выходной контролируемый параметр имеет равновозможные отклонения в большую или меньшую стороны от центра настройки . Условие и возможные типы оценок - как в примере

1.

6.2 Алгоритм точечного и интервального оценивания среднего значения при неизвестной дисперсии приведен в таблице 6.2.


Таблица 6.2 - Оценка среднего значения при неизвестной дисперсии

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

1 Объем выборки:

1 Квантиль распределения Стьюдента уровня с степенями свободы:



2 Сумма значений наблюдаемых величин:

2 Квантиль распределения Стьюдента уровня с степенями свободы:


3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:

3 Вычисляем:


4 Степени свободы:

4 Вычисляем:


5 Выбранная доверительная вероятность:

5 Вычисляем:




6 Вычисляем:






7 Вычисляем:




Результаты

1 Точечная оценка параметра :


2 Точечная оценка параметра :


3 Двусторонний симметричный доверительный интервал для параметра :

.

4 Односторонние доверительные интервалы для параметра :

                                                          (1)

или

.                                                             (2)

Примечание - Квантили распределения Стьюдента определяют по таблице Б.1 приложения Б.



Примеры - Примеры те же, что в 6.1, но точность, определяемая разбросом контролируемых значений, заранее неизвестна.

6.3 Алгоритм решения задачи сравнения неизвестного среднего значения с заданным значением при известной дисперсии приведен в таблице 6.3.


Таблица 6.3 - Сравнение неизвестного среднего значения с заданным значением при известной дисперсии

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

1 Объем выборки:

1 Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня :



2 Сумма значений наблюдаемых величин:

2 Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня :


3 Заданное значение:

3 Вычисляем:



4 Известное значение дисперсии генеральной совокупности:


или стандартного отклонения:


5 Выбранный уровень значимости:


Результаты

Сравнение выборочного среднего значения   с заданным значением :

1 В двустороннем случае:

Предположение равенства выборочного среднего и заданного значений (нулевая гипотеза) отклоняется, если:


.

2 В одностороннем случае:

а) предположение о том, что выборочное среднее не менее чем (нулевая гипотеза) отклоняется, если:


;

б) предположение о том, что выборочное среднее не более чем (нулевая гипотеза) отклоняется, если:


.

Примечание - Квантили стандартного нормального закона распределения определяют по таблице А.1 приложения А.



Пример - Проверка правильности настройки технологического процесса на середину поля допуска или на заданное оптимальное значение. Точность технологического процесса предполагается известной или заранее оцененной, т.е. значение известно.

Возможные технологические процессы: механическая обработка, расфасовка и другие, где равновозможны отклонения контролируемого параметра в большую и меньшую сторону от центра настройки.