Пособие к СНиП 2.05.03-84 "Мосты и трубы" по изысканиям и проектированию железнодорожных и автодорожных мостовых переходов через водотоки (ПМП-91)

     6.3. Математическое моделирование

1. Математическое моделирование представляет собой относительно новое направление научных исследований, бурно развивающееся в последние десятилетия в связи с прогрессом средств вычислительной техники.

Под математическим моделированием обычно понимается изучение явлений при помощи массовых многовариантных расчетов с применением быстродействующих ЭВМ на основе численного решения уравнений, являющихся математической моделью процесса.

2. При моделировании мостовых переходов используют математические модели непрямой аналогии, т.е. вычислительные алгоритмы, реализующие заданные уравнения и граничные условия путем последовательного выполнения математических операций. В качестве исходных принимают (в зависимости от целей исследования) одну из систем уравнений движения жидкости (Сен-Венана, Эйлера, Навье-Стокса, Рейнольдса), уравнение неразрывности, а также дополнительные формулы и уравнения, описывающие изучаемое явление (например, для русловых деформаций - формулы расхода наносов, уравнение баланса наносов и т.п.). Уравнения должны быть дополнены граничными (краевыми) и начальными (при исследовании нестационарных задач) условиями, которые "привязывают" универсальную математическую модель к конкретным условиям. Для решения начально-краевых задач широко используются методы конечных разностей или конечных элементов, основанные на аппроксимации исходных уравнений их дискретными аналогами на специальным образом построенных расчетных сетках.

Характерные примеры использования математического моделирования для решения задач проектирования мостовых переходов в сложных условиях приведены в прил. 6.1.

3. Принципы математического моделирования во многом сходны с принципами физического моделирования. На первом этапе необходимо построение численной модели, которая включает в себя систему уравнений и граничных условий, алгоритм и реализующую его программу для ЭВМ.

На втором этапе производят основные расчеты, при которых варьируют те или иные параметры задачи (расходы, уровни, отверстия моста, размеры и форма струенаправляющих дамб). Как и при физическом моделировании, может применяться фрагментарный подход, когда отдельные фрагменты течения исследуются более детально, например, на более густой расчетной сетке или с использованием другой математической модели. При выполнении третьего этапа, составляющего анализ результатов и выдачу рекомендаций, можно эффективно использовать широкий арсенал периферийных устройств ЭВМ для графического изображения полученных результатов. Исходные данные для проведения физического и математического моделирования одни и те же.

Вместе с тем между рассматриваемыми видами моделирования имеется ряд существенных отличий. Прежде всего, математическое моделирование производится всегда в реальном масштабе, т.е. исчезают трудности с удовлетворением критериев подобия .....* пересчетом результатов в натуру (отсутствует масштабный эффект). Возможный диапазон изменения параметров при математическом моделировании обычно больше, чем при физическом, причем в первом случае можно независимо проанализировать влияние того или другого параметра (например, шероховатости, уклона дна и т.п.), что при физическом моделировании иногда затруднено или невозможно. При наличии отлаженных программ произвести серийные расчеты с перебором многих вариантов быстрее и легче, чем выполнить большое число физических экспериментов.

_______________

* Брак оригинала. -  Примечание изготовителя базы данных.

4. Недостаток математического моделирования связан прежде всего с тем, что любая математическая модель является лишь определенной идеализацией физического процесса. При этом экспериментатор-вычислитель работает не с дифференциальными уравнениями, а с их дискретными (разностными) аналогами. Процесс дискретизации уравнений зачастую меняет не только количественное, но и некачественное поведение решений*. Поэтому для оценки различных методик при заключении договоров на конкурентной основе должны быть использованы следующие критерии:

_______________

* Брак оригинала. -  Примечание изготовителя базы данных.

а) точность решения системы использованных уравнений, определяемая тестами, имеющими аналитическое решение (например, из одномерных тестов наиболее известным является так называемая задача о разрушении плотины);

б) совпадение вычислительных результатов с измеренными в натуре (хорошо использовать гидрометрические данные, причем не обязательно для экстремальной ситуации);

в) минимум эмпирических констант при одинаковой общности решений;

г) непрерывная зависимость решения от исходных данных (при малых изменениях входных параметров соответственно слабо должно меняться и решение);

д) простота реализации.

Каждая вновь разработанная численная модель должна всесторонне тестироваться, т.е. необходимо проводить сравнения с точными решениями, экспериментальными данными, проверять сходимость решения по сетке (при дроблении сетки) и по временному шагу и т.п. Без проведения тестирования нельзя приступать к расчетам реальных объектов.

При наличии натурных измерений должна производиться дополнительная тарировка численных моделей (например, корректировка шероховатостей поймы и русел) с тем, чтобы расчеты согласовывались с измерениями. После этого можно проводить собственно математическое моделирование, проигрывая различные проектные решения.